■コマネチ大学2006年度講義リスト

2006年4月～2007年3月に放映された「たけしのコマネチ大学数学科」の「過去問題」へのリンク集（ガスコン研究所）。

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■コマネチ大学数学科42講：ガウス平面

竹内薫センセによると、3月で終了とのことだが、番組の最後に「1年間ありがとうございました」に続いて「4月からもマスマス数学します」というテロップが映った。どういうことなの？「たけしのコマネチ大学数学科」第42講。演題は「ガウス平面」。

問題：草原に1本のカシと1本のマツと1軒の小屋があります。小屋からカシまで歩き、右へ直角に同じ距離を歩いて、そこに棒を立てます。同様に小屋からマツまで歩き、左へ直角に同じ距離を歩いて、そこに棒を立てるとき、棒と棒の中間に宝があります。
宝がどの場所にあるか作図しなさい。ただし、小屋の位置はわかっていません。

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■テトリスの応用問題に挑戦！

「コマネチ大学数学科」第41講の「テトリスに挑戦」の類題を考えた。ルールは同じ。できるだけ凸型のブロックを使わないようにして、マス目を埋めること。下の問題をクリックすると、別窓で開くはず。（IE6のXPSP2とFirefox2.0.0.3でしか動作確認してない；；）マス北野のように2分で解けるかな＾＾；

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■同時確率と条件付き確率

またまた、「コマネチ大学数学科」38講の「スパゲッティ問題」である。茹でる前のスパゲッティを折る話なので、こんがらがることはないと思うのだが、私の頭の中では、複雑にからみついて、なかなか解きほぐせない。

前回の「スパゲッティ問題(その２)」では、モンテカルロ法でこの問題を解こうとしたら、期待したとおりの値にならなかった。変数名や図がひとりよがりでわかりにくく誤解を与えた部分があったので、そのへんを整理してみた。

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■コマネチ大学数学科41講：テトリスに挑戦

今回は「テトリスに挑戦」ということで、マス目を３つの形のブロックで埋める問題なのだが、番組を見ている私たちは、ただ見ているだけでトライしてみることができない。そこで、マス目とブロックを用意しようとしたのだが、これがホントに大変だったのよ「たけしのコマネチ大学数学科」第41講。

問題：図の白いマス目を3種類のブロック全部を使って埋めるとき、凸型は、最低何個必要か？（できるだけ凸型を使わないで完成させよ！ということ）

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■スパゲッティ問題(その２)

コマネチ大学数学科38講の「スパゲッティ問題」で、大ポカをやらかした酔っ払い爺の私。コマ大数学研究会と同じく、モンテカルロ法で確認してみようと思った。

問題：1本が30cmのスパゲッティを無作為に3本に折ったとき、その3本で三角形を作ることができる確率は？

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■コマネチ大学数学科40講：和算PartⅡ

イタリアのちょい悪オヤジ風、竹内薫センセが和服を着て登場。マス北野の「崔洋一みてえだな」の一言に激しく同意「たけしのコマネチ大学数学科」第40講。お題は「和算」。以前、「百五減算」をやったが、今回は、なにやら幾何の問題。

今有如図直内容等円二ケ設二斜相錯載側円
其短径及等円径若干問得側円長径如何

問題：この楕円の短径が4、等円の直径が1のとき、
楕円の長径を求めなさい。

この式にb=2,r=1/2を代入すると、a=√9で「3」、長径はその2倍で「6」になる。

ならば、はじめから式を2倍にしてみる。

これが、算額の公式
置短径倍之加等円径乗等円径開平方二之得長径合問

というわけで、じつは、上で紹介した式は、ほとんど、以下のサイトから、書き写しただけ＞＜；
一関市博物館：和算に挑戦
「美しき数学の時間」で紹介されていた解法、アファイン変換による解答例も載っている。なんだか、難しそうだったので、パス；；

また、「算法助術」(長谷川弘閲／山本賀前 編)は、電子復刻版が公開されている。二十八（82：右から読んでね＾＾；）にあるよ。

元の図形をひっくり返している。それにしても「和算」は、なかなか風情があってよろしいなぁ……。

■コマネチ大学数学科39講：モンモール問題

コイズミが一言「鈍感力が大事だ」といえば、渡辺淳一の「鈍感力」が売れる今日この頃、私は「老人力」でがんばるの「たけしのコマネチ大学数学科」第39講。お題は「モンモール問題」。

問題：6人でプレゼント交換するとき、自分のプレゼントをもらわない組み合わせは何通りか。

まず、少ない人数で考えてみる。2人のときは、お互いプレゼントを交換するだけなので1通り。3人のときは、2通りしかないことがすぐにわかる。4人の場合、A,B,C,Dとすると、Aは、B,C,Dとプレゼント交換する組み合わせが考えられ、残り3人は2通りと、2人の1通りの組み合わせになり、3*(2+1)で9通りになる。ここから漸化式を導くと、f(n)=(n-1)*((f(n-1)+f(n-2))となる。

この漸化式をもとに「エクセル」で表を作成した。というわけで、6人の場合は、265通りという答えが得られた。

中村亨センセの「美しき数学の時間」で解説されていたように、この漸化式を一般化すると(一般項nをどんどん増やしていくと)、

となるらしい。出ました、自然対数の底、ネイピア数が＾＾；

「エクセル」では、自然対数の底は「=EXP(1)」で求めることができる。つまり、1/eは、「=EXP(-1)」だ。人数がたった6人でも、かなり、この値に収束してきているのがわかる。

前回の予告で「次回は有名人の誕生日パーティ？」とあったので、すっかり、今回は、誕生日が一致する確率の問題かな……とヤマをかけたが、2月25日は、戸部アナの26歳の誕生日だそうで、コマ大数学研究会が扮する、戸部洋子だらけの誕生日パーティーだった＾＾；

「メガネの洋子、千葉県検見川～♪」というわけで、お誕生日おめでとうございます。「似てないですよ～」と文句を言われそうだけど……＾＾；

■コマネチ大学数学科38講：スパゲッティ問題

数ヶ月ぶりに電車に乗り、編集部での打ち合わせに出かけた、ひきこもり爺の「コマネチ大学数学科」受講メモ。

問題：1本が30cmのスパゲッティを無作為に3本に折ったとき、その3本で三角形を作ることができる確率は？

この問題、なぜ難しく考える必要があるのか、私にはわからないが、すっかりイタリアンな感じの竹内薫センセの解説では、この問題を解くには、ふた通りの方法があって、まずは代数で考えたのが東大生チームだ。

三角形の二辺の和は、他の一辺より長いので、以下のような不等式が成り立つ。
x+(y-x)>(30-y)
x+(30-y)>(y-x)
(y-x)+(30-y)>x
0<x, x<y, y<30

これをグラフで考えたのがマス北野だ。

同じように条件を当てはめると、x,yは、オレンジ色の部分になる。面積の比率によって、確率は1/4であることがわかる。

竹内薫センセの「美しき数学の時間」では、マーチン・ガードナーの解法を紹介していた。

正三角形の中の任意の場所に点Pを打つ、点Pから三辺に垂直になるような線を引く。この3本の垂線の長さを合計すると、正三角形の高さになるというもの。
AD=AE+AF+AG

AD=PE+PF+PG（2月16日修正）
ADを30cmのスパゲッティと考えると、AE,AF,AG（PE,PF,PG)は三つに折ったときのスパゲッティの長さになる。で、三角形の二辺の和は他の一辺より長いという条件を加えると、点Pは、オレンジ色の部分に収まっている必要があるのだ。面積比で1/4。

冒頭で、この問題を難しく考える必要があるのか、私にはわからないと言ったのは、最初にスパゲッティを折る場所が半分の15cmより大きくなるか、小さくなるかの確率は1/2だよね。三角形の二辺の和は他の一辺より長いのだから、次にスパゲッティを折るとき、二つに折ったスパゲッティの短いほうを選んじゃうと、三角形を作れない。長いほうか、短いほうか2本のスパゲッティのどちらか一方を選ぶ確率は、1/2なので、(1/2)*(1/2)で、三角形を作れる確率は1/4という答えになる。ふつうは、こう考えるんじゃないのかなぁ……。

2月16日追記：自分が書いた文章を読み返してみたら、2本に折ったスパゲッティの長いほうを選んでも、必ずしも、三角形が作れるとは限らない……ということに気がついた；；　やはり、ちゃんと数学的に証明しないとダメみたい＞＜；

■コマネチ大学数学科37講：断面

おめぇに喰わせる「断面」は、ねえぇ！の「たけしのコマネチ大学数学科」の第37講。

問題：小さい立方体9261個を使ってひとつの大きな立方体を作り、断面が正六角形になるように切断します。このとき、小さい立方体は何個切断されるでしょうか。

立方体の各辺の中央を通るように切断すると、断面が正六角形になる。上のFlashは、3×3×3の立方体だが、隙間を作っているので、わかりづらいかもしれない。各辺が5の立方体は図のようになる。中央の赤い六角形を取り囲むように六角形が増えていくが、小さな三角形は、六角形の数の2倍ずつ増えていく。

※注：表のF列の数値に誤りあり。nanzanさんのコメントを参照（2008年4月2日追記）

これを表にすると、正六角形の増分は「6n」、正三角形の増分は「2*6n」、そして切断される小さな立方体の増分は、これを足したものなので「3*6n」になる。9261個の小さな立方体で作った大きな立方体の辺の数は、21×21×21なので、これに当てはめ、合計を出す。

マス北野は、正三角形の数が正六角形の数の倍と考え、「331×2」としてしまったため、惜しくも正解を逃してしまった。1個の立方体を切断したときに出来るのは正六角形のみ。ううむ、中村亨センセの解説をそのまま、なぞっているだけになってしまった；；　

美しき数学の時間では、いろいろなパターンの「アルキメデスのタイル張り」を紹介していた。最近、FlashのActionScriptで図形を描くことを覚えたので、いつか挑戦してみたい。それと、今回は、Shadeで作成したアニメーションをFlashに埋め込むことに挑戦してみた。

■コマネチ大学数学科36講：フラクタル

マス北野によると、映画「TAKESHI'S」の元タイトルは「フラクタル」だったとか「たけしのコマネチ大学数学科」第36講。

問題：以下の規則に従って白玉と赤玉を64段まで並べるとき、必要な赤球は何個でしょうか。
規則
１：1段目に白玉を置く
２：2段目以降、両端には白玉を置く
３：3段目以降、斜め上2個が同じ色なら赤だまを、違う色なら白玉を置く

というわけで、コマ大数学研究会にならって、ひたすら並べてみるものの……。32段目で挫折；；

8段目までで白玉は27個、64段では、この形が27個あり、27×27で白玉は729個。玉の総数は「n+(n+1)/2」で、64*65/2で2080個、2080-729で、赤玉の数、1351個が求められる。

竹内薫センセの「美しき数学」の時間では、もっと簡単に求める方法を紹介していた。すべてが白玉になる段に注目すると、1,2,4,8……段。このときの白玉の総数は、1,3,9,27……と3倍になっている。

「パスカルの三角形」の奇数、偶数を塗り分けると、シェルピンスキーのギャスケットになる話は、以前のエントリーで書いた。

●マンデルブロ

マス北野もマンデルブロやフラクタルにはまっていたことがあるそうだが、私も、十数年前、はまっていたことがある。当時は、書籍などに載っていたプログラムを参考にして、「X68000」というパソコンのBasicで描いていたのだが、描画が遅くて、その後、Visial Basicに直して描いたりしていた。「日経デジタル大事典」の記事を書いたとき図版として使用した画像は残っていたものの、プログラムは残っていない；；

マンデルブロ図形の細部に入り込んでいくと、行けども行けども果てしなく、不思議な図形が現われる。

●Flashでシェルピンスキーのギャスケットを描いてみた。

手書きでは、正確な正三角形を描くのが難しいため、最初の三角形を、Action Scriptで描く。Action Scriptで描いたのは2フレームまで、あとは、これを断片のひとつとして、シンボル化し、手作業で貼り付けた(＾＾；

■コマネチ大学数学科35講：ペンタゴン

　昨日、酔っ払いながら作成した「Google入社問題」のActionScriptは、ループ回数を変更していなかったことが判明；；でも、それを修正しても正解にたどりつかない「コマネチ大学数学科」の第35講。
今回の問題は、図のように紙テープ1本を5回結んで正五角形を作り内側が正十角形になるようにします。テープの幅が2cmのとき、必要な紙テープの長さは何cmでしょうか。小数点以下を四捨五入して整数で答えなさい。

　この問題を入学試験とか入社試験とかで出されたら、私には絶対解けない。問題の正五角形折り紙の展開図(もちろん一本のテープなのだけれど、その折り目)を頭の中だけで描ける人は、そういないのではないかと思う。実際に紙テープを結んで、それを展開すれば、話は別。でも、紙テープの結び目がちゃんと正五角形になるように折ることは意外と難しい。手元にあった割り箸の袋でやってみたが、折り目の角度などに気をつかって慎重にやらないと、なかなかキレイな正五角形にはならない。それは図を描くときも同じ。じつにアバウトないいかげんな図になってしまった。

　で、折った紙テープを広げると、結び目に4つの台形、辺にあたる部分も同じ形の台形がつながることがわかる。つまり、この正五角形の折紙は、25個の台形が交互につながった形になる。

　ひとつの台形の長さを求め、それを25倍すればいい。正n角形の1つの内角は、(n-2)/n*180°これに5を代入すると「108度」。108－90で三角形の尖がった部分の角度は18度、直角三角形のもうひとつの角は、72度になる。あとは、三角関数で計算するだけだ。
a=2/sin(72)で、2.102924448
b=2/tan(72)で、0.649839392
(a+b)*25=68.81909602
答えは、約69cmになる。

　「エクセル」で計算するときは「=2/SIN(RADIANS(72))」のようにラジアン値に変換してから三角関数に渡すことを忘れないようにしましょうね；；

　さて、今月いっぱいの締め切りを抱えている私としては、編集者の目が怖いので、このへんで……。

■コマネチ大学数学科34講：素数

部屋の電灯つけっ放し、テレビつけっ放しで、酔いつぶれて寝ていたが、番組が始まると、ハッと目が覚めた「コマネチ大学数学科」の第34講。もちろん、前回の轍を踏まじと、しっかり録画予約してあったのだが、朦朧とした頭で番組を見終わると、再び夢の中へ……。夢の中では、なにやら難しい数式が出てきて「わかったぞ！」と叫んでいたが、それがなんであったか覚えていない。

問題は、隣り合う数の和を下図のように加えていく作業を1万回繰り返し行ったとき「101」という数は、何回出現するでしょうか。

番組では触れられていなかったが、これは「チューリング・マシン」ではないかと思う。チューリング・マシンとは、コンピュータが登場する以前の1937年、アラン･チューリングが発表した「計算可能な数－決定問題に対する応用」という論文に登場する仮想的な装置のこと。

チューリング・マシンは、マス目が書かれた長～～い紙テープと、ひとマスごとに移動できるヘッドから出来ている。ヘッドはマス目に書かれている記号を読み込んだり、書き込んだり、消去することができると想定されていた。なにせ、仮想の装置なので現実にそういう装置があったわけではない。

アラン・チューリングは、こんな簡単な仕組みの装置でも、命令次第でさまざまな演算ができることを証明して見せたんだよね。これがコンピュータの登場につながった。昔の映画などに登場するコンピュータはオープンリールのテープ(外部記憶装置)がガチャガチャと動いている映像があるでしょ、そんなカンジ。

チューリング・マシンのヘッドは、マス目の数字を読み込んで、足し、書き加えていく。テープを巻き戻して、最初からもう一度……さて、この作業を1万回繰り返すと「101」という数は何回出現するか……という問題に置き換えられる。

コマ大数学研究会は、手作業でテープに数字を書き、足していった。最初の「1、1」と書かれたテープを1本目とすると、14本目で「40」個という答えを出した。このときのテープの長さをチューリング・マシンのマス目の数で表すと「2^(14-1)+1」で、8193となる。8193個のマス目の中に「101」は40回出現したというわけだ(コマ大数学研究会が計算ミスをしていないと仮定しての話＾＾；検証はしていない；；)。

無理やり、ひとつのマス目をコンピュータのメモリ(1バイト)に対応させてみると、8193バイト、約8キロバイト。日本で組み立てキットの「マイコン」が登場したときは、確かメモリが8キロバイト程度だった。しかし、この計算を1万回ではなく、100回繰り返したとしよう。そのとき必要なメモリはどのくらいになるというと……。
「2＾(100-1)+1」で「6.33825E+29」。これをテラバイト(10^12＝1兆バイト)で割ると、63京テラバイトにもなってしまう。1万回なんて、とんでもない。どれだけ長いテープを用意しなきゃならないの！　体当たりのコマ大数学研究会にとっては、酷過ぎる；；。

で、マス北野は、今回も冴えていた。3、5、7などの素数の出現数は「n-1」になっていることを発見。答えは「101-1」で「100」。東大生コンビは時間切れで、マス北野、ただひとりが正解した。

竹内薫センセの「美しき数学」の時間では、この問題の解法を「ユークリッドの互除法」(参照：～さんすう・数学のお勉強～)を使って解説。素数を「n=a+b」のように表すと、必ず、aとbは互いに素(最大公約数が「1」)になるという。通常の約分法ではないが、例えば「7」を「5+2」のように分けて、小さいほうの数を残し、大きい数から小さい数を引くと「3,2」のようになり、最終的に「1,1」となる。これはちょうど、問題を逆のぼる形になる。「7」を「a+b」のような形にできる組み合わせは「6,1」「5,2」「4,3」「3,4」「2,5」「1,6」の6通り。つまり「101」の場合は、「101-1」で「100」個ということになるらしい。

番組の冒頭で、980万桁の素数を紹介していたが、竹内薫センセ曰く「素数は大きな広がりを持っている。宇宙が素粒子で出来ているように、数学では、素数が重要な存在」と。番組では、素数を「素敵な数」と表現していた。数学に素養のない私は、素敵な人ではなく、ただの「素人」(シロウト)だ＾＾；

竹内センセの「薫日記」の1月17日のエントリ「重版おめでとう！」で中村亨センセの「数学21世紀の7大難問」の重版が決定したことを知り、これを機会に「薫日記」から注文した。まだ届いていないのだけれども、私もアフィリエイトをば……。

数学21世紀の7大難問

著者：中村 亨
販売元：講談社

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■コマネチ大学数学科33講：中国人郵便配達問題

シャブリの気になったもの：コマネチ大学#33

酔いつぶれて録画予約を失敗してしまった「コマネチ大学数学科」だが、上記のブログに問題と、非常に丁寧な解説が載っていた。詳細は上記ブログを参照してもらうとして、酔っ払い爺としては、実践あるのみ。ホントにそうなのかを検証してみよう。

「スタート」ボタンを押してから、キーボードの方向キーで郵便配達夫を操作してほしい。

問題は「郵便局から出発して、すべての家に郵便物を配達し、再び、郵便局に戻る、この間の移動距離が最小となるような経路を見つけよ！というもの。小さいひとマスの辺を「1」としたとき、最短経路の移動距離を求めることになる。

で、経路を最短にするには、できるだけ、同じ道を通らないこと。一筆書きができれば（無駄な移動を省くという意味で）それに越したことはないのだが、どうやら、この図形は一筆書きができない。ならば、どうすればよいのか、というのが、この問題のポイントだ。

重複して通る経路をどこにするか。「ケーニヒスベルクの橋」問題で、オイラーは、一筆書きができる必要十分条件として、「すべての頂点の次数が偶数」または「次数が奇数の頂点の数が２で、残りの頂点の次数はすべて偶数」のいずれかとした。つまり、奇数点を偶数にすれば、いいんだよね。そう考えると、自ずとバイパスを設置するポイントが見えてくる。

そんなわけで、パターンを知ってしまうと、意外と簡単な問題。このバイパスを設置する(二度通る経路を決める)と、スタート地点がどこにあろうが、最短距離ですべての家に郵便物を配達できる。この問題の答え（1マスの辺を1とすると)、最短距離「28」で、すべての家に郵便物を届け、出発点の郵便局に戻ってほしい。

■郵便配達夫は、N!度ベルを鳴らす

ついにやってしまった；；これまで、出来の悪い生徒ながら皆勤賞だけが唯一の取得だったのに、録画予約を失敗して受講できなかった「コマネチ大学数学科」。とくに今回の問題は「郵便配達問題」ということで楽しみにしていただけ残念だ。

「郵便配達問題」とは、郵便物を配達するのに最短のルートを求める問題だ。郵便局をスタート地点とすると、配達する家が5軒なら、その経路は、5!=120通り。10軒なら、10!=約360万通り……これが1000軒とか、1万軒となると、すべての経路を計算して答えを見つけるやり方では対処できなくなる。

現在のノイマン型コンピュータを使う限り、計算可能な問題(P)と、検算可能な問題(NP)は、等しくないと思われている。「P≠NP予想」は、ミレニアム懸賞問題のひとつで、賞金100万ドルが懸けられている。

量子コンピュータなどが作られ、もしも、この問題が「P＝NP」であることが証明されたら、現在のRSA暗号などは、その安全性を確保できないことになっちゃう。

ということで、「コマネチ大学」の10分で解ける「郵便配達」問題とは、いかなるものだったのか……（orz)。

■良い子はマネしちゃいけない回答篇

コマネチ大学数学科マス1グランプリ
●ROUND1　問8
「365/1365=」を約分しなさい。

あの「数学オリンピック」の2年連続の覇者、西本さんでも「適当に割算しました」というのに、こんな解法があったとは……＾＾；。

シム宇宙の内側にて：良い子は真似しちゃいけません

GIGAZINE：何もかもが間違っている数学の回答

上記ブログで紹介している回答例には、意表をつかれた。あまりに面白かったので、応用問題を作れないか……とゆーか、これが可能な仕組みを考えてみた。

例題を踏まえて、以下の分数を約分しなさい。
で、約分というのは、分母と分子を最大公約数で割ること。例題も含め、問1と問2の最大公約数は「91」、そして分母と分子の数の差は「11」になっている。消せる数字を足すと「9」になる。問3の最大公約数は、すぐにわかるように「1001」だ。つまり「11*91」というわけ。もちろん、分母と分子の共通する数字を消せば「答え」になるのは特殊な場合なので、良い子はマネしてはいけない＾＾；

世の中、ホントに「数学ブーム？」なのかどうかは、知らないけれど、今年のお正月「コマネチ大学数学科マス1グランプリ」の前日には「スージー大好き」という番組が放映された。マーチンゲール法を応用し「1年間で100円を900万円にする方法」や「キレイになる黄金比」などを紹介していた。例えば、女の子にアタックして「イヤヨ（184）と断れても、あきらめずに6回アタックすれば「184×6＝1184（イイワヨ）」になるとか、どうにも、バラエティ番組としては、フツーなんだろうけれど、おもしろくない。番組は「数字」にかけた「スージー」という「数字の女神？」(書くのも恥ずかしい)が進めていく構成なのだけど、ナレーターの声にイラついてしまった。

ちなみに「マーチンゲール法」は、竹内薫センセの「数学嫌いが治る本」でも紹介されている。ようするに配当が2倍以上の場合、負けたら、その額の倍を賭けていくというもの。何度負けても、このルールで賭けていく。一度でも勝った時点で、これまで負けた分よりも配当のほうが上回る計算。勝ったらリセットして、最初の状態からスタートする。番組では、これを競馬に応用。1番人気の単勝馬で、配当が2倍以上の場合、馬券を買い続ける。最初は100円、負けたら次のレースは倍の200円をつぎ込む。去年1年、JRAのレース結果を元にして、このルールを適用して計算すると、最終的に900万円の儲けになったらしい。なんか、ウェブやダイレクトメールにありがちな「必勝法」のような胡散臭さを感じる。興味の対象が数学的な面白さではないのだ。このルールの盲点は、誰でもわかるとおり、資金が潤沢でないとできないこと。去年のデータでも、ある時点を捉えると、馬券の購入額は1400万円にもなったらしい。破産してしまったら、このルールは適用できない……ということが前提のはずなのに、なんか詐欺の謳い文句のようなイヤな気分にさせる。

いっぽう、「たけしの誰でもピカソ」は、数学ネタの第3弾。数学の伝道師「桜井進」の数学マジック「もの言う電卓」。電卓には「15873」と入力されている。これにあなたの好きな数字を掛ける。ゲストの「高木美保」は「9」を掛ける。桜井進氏はもちろん、見ていないのだが、計算結果に「7」を掛けると……。

というわけ。今回は、魔法の呪文「石には粉」を披露。「石には粉(142857)」という数にさまざまな数を掛けてみる。

掛ける数が「6」までの場合は、「142857」をシフトした形になる。「8」以降は、最初の数と最後の数を足すと、やはり「142857」となる。文字どおり数のマジック。楽しんでもらうだけで、人間の欲につけいるようなギミックはまるでない。

番組は、これから、東京工業大学の黒川信重教授と番組では御馴染みの音楽家、倉本祐基(本名：北野実)氏を招いて、「リーマン予想」の話へと移る。このふたり、じつは高校の同級生で、数学の問題をエレガントに解く雑誌のコーナーの常連さんだったという。高校の数学の成績では、黒川氏よりも上だった倉本氏であったが、ふたりにとって高校の数学の問題では、簡単すぎて、優劣はつかなかったという。倉本氏によると、数学では黒川氏にかなわないと思い、音楽家の道に進んだとのこと。黒川氏は「リーマン予想」の登山家としては、世界でも、もっとも高く登り詰めている数学者。世界の数学者がリーマン山の3合目あたりを右往左往している中、5合目を突破する数学者として注目を浴びているらしい。

「オイラー」は1735年、自然数を無限に足していく「バーゼルの問題」を「複素関数」を用いて、ある値に収束することを発見し、これが「ゼータ関数」につながる。
●バーゼルの問題

●ゼータ関数

●リーマン予想

……って、たんなる酔っ払いの爺には、なんのことかわからないが、オイラーは1771年、全盲になるものの、1775年には「月の運動に関する論文」を執筆したという。
番組として「スージー大好き」と比較しても、始まらないし、視聴率がどうだったかということにも関係なく、私には、なんとなく無限のかなた(永遠)に魅かれる数学者の気持ちは感じられたし、おもしろかった。とくに、「ゼータ君はどこにもいるんですよね」という桜井氏のフリに黒川教授の「ええ、自然界のさまざまな場所にいるという説があります。私の地元は栃木県なのですが、言ってしまいますと、華厳の滝の滝壺にいると……」という答えが印象に残った。「なぜ、ゼータは滝壺に潜んでいるのか」こーゆー話なら、2時間でも3時間でも、じっくり聞きたいと思うのは私だけだろうか＾＾；

夕方から「いいちこ」気分に浸かってきたので、毎度のことながら、今夜、深夜の「コマネチ大学数学科」までは、もちそうもない；；録画予約して寝ようっと……。

■小飼弾さんの回答篇

404 Blog Not Found:
コマネチ大学数学科第一回M-1グランプリ回答篇

●FINAL ROUNDの問題

1000本の棒を使って正四面体を作り、積んでいくと、何段になるでしょう？

小飼弾さんの回答は、正四面体165個(990本の棒)を積み上げると、正四面体1個と4本の棒が残る。この最後の1個を頂上に乗せて10段としてしまうというもの。コマ大数学研究会が使っていた、ロウを溶かして、固めて接着する工具(?)を使えば、なんとかなりそうだ。

さらに、正四面体の底面の部分を貼りあわせた形を作る。底面の3本の棒を共有した正三角形の六面体で、棒の数は9本。これを縦に積み上げる。正三角形の六面体111個(999本の棒)×2段で222段。この形を縦に積み上げるのは、超強力な接着剤を使っても難しいと思うが、やってやれないことはない。

なぜ、このような解答が可能かというと、問題では、積み方を限定していないから。問題に一言、文を追加して、次のようにすれば、よかったのではないかと思う。

1000本の棒を使って正四面体を作り、これをピラミッドの形になるように積んでいくと、何段になるでしょう？

これなら、1枚のフリップに収まると思うのだが……。でも、ピラミッドを中抜きする方法があるのか＞＜；

弾さんの回答篇は、私のエントリを待っていてくれた節がある(私が勝手にそう思っているだけ＾＾；)。弾さんは、とっくに回答篇を用意していたはず。Shadeの図版作りに梃子摺り、記事を公開したのは、朝方の時間にもかかわらず、その10分後には、「おいおい、いつまで待たせるんだよ！」とばかりに回答篇が公開された。しかも、私のブログへリンクまで貼っていただいていた。そんな心優しき弾さんへの感謝を込めて、ROUND2の図形問題、マス北野の解答篇を載せておく。

■コマネチ大学数学科マス1グランプリ

　昨年末の「M-1グランプリ」は「チュートリアル」が獲ったけれど、もう一つの「M-1」、「マス1グランプリ」は誰の手にと楽しみにしていた「コマネチ大学数学科マス1グランプリ」。期待に違わず、かなり楽しめた。しかし、「いいちこ」漬けの頭では、リアルタイムに参戦できるわけもなく、録画した番組であらためて問題を振りかえってみた。

●ROUND1　計算問題

計算すれば答えは出るのだけれど、いかに式を簡単にするのかがポイント。私がパッと答えることができたのは、問9だけだった；；

●ROUND2　最速図形バトル

計算問題で出遅れたマス北野だったが、さすがに図形問題では最速。しかも、上のFlashで紹介している解法は、ハサミを4回入れなければならないが、マス北野は、たった2回ハサミを入れるだけで、正解した。じつは、2番目に速かったのは、西本さん。しかし、思考速度は速いものの、不器用ぶりを発揮し、図形を並び替えることに手間どり、東大生チームに先を越されてしまった。ツッコミどころも満載の西本さんであった。

●FINAL ROUND　一騎打ちバトルロイヤル
マス北野と数学オリンピックの2年連続チャンピオン、西本さんとの一騎打ちとなった。

問題は「1000本の棒を使って正四面体を作り、積んでいくと、何段になるでしょう？」というもの。ひとつの正四面体を作るには、6本の棒が必要。これを1000本以内で、図のように積み上げていくと、何段作ることができるかということ。

1段目は正四面体が1個。2段目は3個。3段目は6個……と続く。関係ないが、「Shade」で正四面体を描くことが、こんなに大変だとは思わなかった。で、1つの正四面体を描いたなら、あとは、コピーして貼り付けるだけなのだが、これも、意外とめんどうくさい。2段目で挫折……。それを考えると、コマ大数学研究会のがんばりは、スゴイ！と思う。

というわけで、エクセルで表にしてみた。段ごとの正四面体の数は、1段目からその段までの数を足したものになる。セルB4に「=SUM($A$3:A4)」として、オートフィルで以下の行を連続入力する。合計の欄も同じく、セルC4に「=SUM($B$3:B4)」とする。この合計に6を掛ければ、棒の数が出る。9段目で990本になり、10段目では1000本を超えてしまう。

これは、マス北野の方法と同じだ。西本さんは、最速ですぐにこの問題を解く公式を導き出した。ただ、番組では説明の部分がカットされていたのが残念だ。

美しき数学の時間では、竹内薫センセが解説。この問題、パスカルの三角形を用いても解くことが可能とのこと。

正四面体の合計数が表れているではないか。しかも上から数えてみると、9段目が「165」になる。まるで、手品で「引いたカードをあらかじめ予言しておきました」みたいな、パスカルの三角形。パスカル、あんたはスゴイ！　ふと、今、思いついたのだけれど「同じ大きさの鏡餅を3つ並べて、その上に1個置く。このような形で10段の鏡餅を作るには、鏡餅は何個必要ですか？」という、お正月らしい問題ならば、コマ大数学研究会は、これほど苦労しなかったはず……あ、これじゃ、番組として成り立たないのか＾＾；
でも、段ごとに必要な正四面体の数を考えるとき、鏡餅で考えると、わかりやすいかもよ。

■ゆく年くる年

　アマゾンに予約注文していた「コマ大数学科特別集中講座」と「脳をシゲキする算数ドリル」が届いた。

　「たけしのコマネチ大学数学科」は、深夜、30分の放送枠の中に、問題の提示、解、答、そして「美しき数学」の時間を収めなければならないため、どうしても説明を省かなければならないところがある。そういった番組ではカットされた部分を含めて、これまでの問題を収録したアーカイブとしての「本」を期待したのだが、ちょっと違ったようだ。

　これは、私の期待であって、そうはならないだろうというのは、ある程度はわかっていた。だって、そういう本は、竹内薫センセや中村亨センセ自身が書かないと成り立たないだろうから……。

「コマ大数学科特別集中講座」は、160ページのうち、番組で取り上げた問題を紹介している部分は38ページ(全体の約4分の1)。全体の60％を占めているのは、ビートたけしと竹内薫センセの対談だ。対談は対談で面白いのだが、過去の問題と解法を、本というすぐに参照できるような形で残しておきたいというのが、私の正直な気持ち。これが、全体の60％(5分の3)が過去の問題、4分の1が対談だったら、大満足だったのだけれど……。

「頭をシゲキする算数ドリル」は、木村美紀さんの本だが、問題やコラムの作成には「東大算数研究会」の協力を得ているとのこと。全60問。奇数ページに問題、めくった偶数ページに解答という形で進んでいく。

　ところで「コマ大数学科特別集中講座」の中で木村美紀さんの記事(3ページ)があるのだけれど、その中で印象に残った言葉があった。

数学はダイエットに似ています。まず第一に、根本にあるのは”美の追求”だという点です。第二に、結果を出すためには、近道もあれば遠回りもあるという点です。第三に、努力したプロセスが自分を磨く経験になるうという点です。

　まるで、「手術台の上のコウモリ傘とミシンの出会い」のように、数学とダイエットを結びつけるあたりが、お見事。現役東大生の木村美紀さんらしいなぁという印象を強く持った。

　なにはともあれ、本ブログを訪れてくれた皆様、ありがとうございました。大晦日は、デジタル「除夜の鐘」でも聞きながら、「算数ドリル」で年を越そうかな……というのは、ウソ。貧乏ライターには、大晦日もお正月もないのら。

■コマネチ大学数学科31講：チェバの定理

WOWOWで「大停電の夜に」を放映していた21日の夜、ココログの管理画面は「大停滞の夜」。まったくつながらない。データサーバーに高負荷がかかっていたとのことだが、どうなることやら「たけしのコマネチ大学数学科」第31講、「チェバの定理」。

今回の問題は「一本の定規を使って正方形の辺の中点を作図しなさい」というもの。ここで言う「定規」とは、古代ギリシアで使われていた「定木(ていぼく)」とする。たんに直線を引く道具で、目盛りはない。つまり、長さを測っちゃダメよ、ということ。

「チェバの定理」ということで、さっそく「千葉」の海岸にとんだコマ大数学研究会の面々。砂浜に描いた正方形が波に消されるなど、苦戦を強いられたが、「漁師力学」により、正方形の一辺と同じ長さの定規を天秤(てんびん)棒のように使い、バランスがとれた支点が左右の中点、つまり辺の中点とした。天秤棒の両端B、Cに、MとLの重しを載せ、バランス点をPとすると、(L/M)=(BP/PC)になる。

これは「メネラウスの定理」からも証明できるが、(AR/RB)×(CQ/CA)が1であることを証明しなければならない。

「チェバの定理」は、三角形ABCの内部に任意の点Oをとり、AOとBCの交点をP、BOとACの交点をQ、COとABの交点をRとすると、「メネラウスの定理」から、それぞれの三角形の面積の比率を証明したもの。同時にもし、AR=RB、BP=PC、CQ=QAならば、交点Oは、三角形ABCの重心となる。その点「漁師力学：ダンカンの定理」は、いいところを突いているのだ。

そんなわけで、正方形の一辺を2等分する方法は、下図のようになる。ポイントは辺BCとRQは、平行だということだね。逆にBP=PCなら、辺BCとRQは平行であることを「チェバの定理」で証明できる。

「コマネチ大学数学科」の年内の講義はここまで。来年1月4日の深夜(1月5日 0:55～1:55)、「コマネチ大学数学科マス1グランプリ！！数学王決定戦！」を楽しみにしよう。マス北野と竹内薫センセの対談を含むテキスト本「コマ大数学科特別集中講座」は予約開始。また、番組に登場している東大生、木村美紀さんの「脳をシゲキする算数ドリル」が発売中とのことだ。

コマ大数学科特別集中講座

著者：ビート たけし,竹内 薫
販売元：扶桑社

現役東大生プロデュース
脳をシゲキする算数ドリル

著者：木村 美紀
販売元：ダイヤモンド社

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■コマネチ大学数学科30講：ディオファントス

テレビドラマ「僕の歩く道」のオープニングで毎回、草ナギ剛君が自転車に乗っているシーンが流れるんだけど、草ナギ君が「ムラタセイサク君」に見えてしまうのは、私だけ……？「たけしのコマネチ大学数学科」第30講：ディオファントス。

今回の問題は「立方体で直方体を作り、外側の面に色をつけたとき、色がついた面とついていない面の数が同じになるのは、どのような直方体か答えなさい」。

図に提示してある、横幅(X)2、高さ(Y)2、奥行(Z)2の場合も、色のついた面と色のついていない面の数が同じになる。問題はこれ以外の組み合わせを答えることになる。

コマ大数学研究会のように豆腐やサイコロステーキで検証するのは大変なので、エクセルの表を作成した。「Excel」がインストールされているパソコンならば「comaneci30.xls」をクリックして「開く」ボタンを押してほしい。

「ディオファントス」は、古代ギリシャの数学者。未知数が2以上ある方程式の整数解を求めるものを「ディオファントス方程式」と呼ぶらしい。

答えは、2通りある。コマ大数学研究会は、残念ながら1通りの答えしか見つけられなかった。東大生、マス北野とも正解。コマネチフィールズ賞は、マス北野が辞退し、東大生コンビが受賞した。

「ディオファントスの墓碑」問題(引用：Wikipedia)

ディオファントスの人生は、6分の1が少年期、12分の1が青年期であり、その後に人生の7分の1が経って結婚し、結婚して5年で子供に恵まれた。ところがその子はディオファントスの一生の半分しか生きずに世を去った。自分の子を失って4年後にディオファントスも亡くなった。

ディオファントスがχ歳に亡くなったとすると、

これを解くと、χ＝84となる。結局、ディオファントスは84歳で亡くなったらしい。

■コマネチ大学数学科29講：カタラン数（補習）

　頭の中でカタラン数が「カタラン、ワカラン」と音を立てている。仕事をしなければならないのだが、このままでは気になってしょうがない。そこで、頭の中を整理する意味で、エクセルの表にしてみた。

　EXCELがインストールされているパソコンならば、「comaneci29.xls」をクリックし、「開く」を実行してみてほしい。

　問題を解くためには、できるだけ問題を単純化して、それを一般化する手法を取る。

　「P」とか「C」とか、わからない記号が出てきたが、これは数学のお約束ごと。数学が難しく感じたり、理解不能と思えるのは、誰かに教えてもらわないと一生わからない記号（お約束）が多いことなんだよね。

　その点、この問題を解くのに参考にした、結城 浩さんの「プログラマの数学」という本は、数学が苦手な人にも、きちんと記号の意味を説明をしてくれている。優しさは（理解の）易しさにもつながるのだ。

　これで、エクセルの表の「人数」に「10」と入力すれば、正解が出るのだけれど、今回のテーマは「カタラン数」なので、カタラン数とはどういうものか……。

2007年3月9日追記：図の間違いを修正；；

　パスカルの三角形を半分にしたような形なのだが、この表に表れる「1、1、2、5、14」という数の並びが「カタラン数」と言うらしい。今回の問題の2人、4人、6人、8人の場合のカップル(握手成立)数になっているのだ。

　マス北野が短時間で正解に辿り着いたのは、(2＋5)の2倍が、次の数字「14」になることに気づいたからだ。
つまり、(2＋5＋14)×2が、10人の場合の答えになると考えた。マス北野のこういった法則を見つける能力というか、数学的な直観力は「さすが」だよね。

■コマネチ大学数学科29講：カタラン数

「そのまんま東」が政治団体を作ったそうで、その団体名が「そのまんま会」。ニュースを見た人の99％は「そのまんまかいっ！」っていうツッコミを入れたことは想像に難くない「たけしのコマネチ大学数学科　第29講」。今回の問題は「10人が円座になって握手するとき、手が交差しないように握手するには何通りあるでしょうか？」というもの。以下はネタばれ注意のFlashムービー。

　簡単なFlashムービーなのに、予想外に時間がかかってしまった。私自身もよくわかっていない「カタラン数」をどう説明したらいいものか……。それは、上のFlashムービーを見た人なら、「私がわかっていない」ということをわかってもらえると思う。

　しかし、マス北野は「さすが」である。たった10分間で、この問題を解き、正解するとは……。

　で、録画した番組を見たが、アルコール漬けの私の脳では、竹内薫センセの話の展開が速すぎて追いつけなかった。放送の時間枠に収めなければならないので、いたしかたないのかもしれない。

■青空学園数学科：カタラン数
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/node83.html

■コマネチ大学数学科28：三つ折り

　もう師走だと言うのに、体がダルく、ぜんぜん仕事をやる気になれなくて、ごめんなさいの「たけしのコマネチ大学数学科、第28講」。今回は「三つ折り」ということで、私も体を三つ折りにして謝ろう。orz

　というわけで、「紙を数学的に三つ折りにする方法とは？」以下のFlashムービーを参照してほしい（ネタばれ注意！）。

　上記の方法は「A4」用紙の場合のみ有効。辺の比率が「1：√2」になっているからだ。きちんと証明しなければならないところだが、紙が三つ折りにできたことは実証されたわけだから、いいじゃん……と思ってしまうのは、私が数学落ちこぼれのせいだろう。

　たぶん中村亨センセも「予想外？」の解答をしたのが、コマ大数学研究会だ。〆さばアタルが過去の「第３回：モーペルテュイの原理」、ビリヤードの問題から、用紙を展開する方法を思いついた。つまり、A4の紙を並べて、角を線で結ぶ方法だ。図形の相似性を利用したものだが、その発想がアタルチャーンス！って感じだ(線を引くため、定規が必要だけど＾＾；)。

　東大生チームは、証明をあれこれ考えているうちにタイムオーバー、ギブアップとなった。マス北野のように、3分の1になりそうなポイントを探すため、二つ折りの折り目に対して、いろんな補助線を引いていけば、見つかるはず。でも、ちゃんと証明しているところが流石だ。文句なしのフィールズ賞。

番組では、辺の比率がA4とは違う紙でも「三つ折り」にできる6通りの方法を紹介していた。また、五つ折り、七つ折りなど、数を増やしても奇数折りは可能とのこと。

■コマネチ大学数学科27：一筆書き

　世界女子バレー、日本は残念ながらメダルに手が届かず。ロシアとブラジルが世界1位の争いを繰り広げる中、「たけしのコマネチ大学数学科」の第27回。今回のお題は「一筆書き」。下のおダンゴを４つ串刺しにしたような図形のAから描き始め、Bに辿り着く書き順は何通りあるか答えなさいというもの。

　ひとつの円に注目すると、最初の分岐は3通り。で、戻るときは、来た道を引き返せないから「3-1」の2通り。つまり、ひとつの円に対して3×2＝6通りの書き順があるわけで、それが4個だと、6^4=1296通り。ここまでは、誰しも納得というか、すぐに計算できる。

　問題は、複数の円にまたがり、たとえば、上の円弧だけを続けて書き、戻る方法だ。しかし、これもよく考えると、連続して書き始めたポイントまで戻るしかないことがわかる。ひとつ目の円はすでに組み込み済みなので「ａ」は除外される。残りは3つ。戻る手順は2通りなので、2^3=8通り。つまり、(6^4)×(2^3)＝1296×8＝10368通りが答えとなる。
円がｎ個つながったときの公式は、

　番組では、東大生チームがみごと正解してフィールズ賞を獲得した。

　ちなみに、ある図形が一筆書きができるかどうか、有名な「ケーニヒスベルクの橋渡り」については、過去の記事「第8回：トポロジー」を参照してね。

■コマネチ大学数学科26：ナポレオンに挑戦

　ラベルにもちゃんと「下町のナポレオン」と印刷されている、麦焼酎「いいちこ」を飲みながら、いつものように「たけしのコマネチ大学数学科」を見る。今回の問題と解答は、以下のFlashムービーのとおりだが、完全に「ネタばらし」なので、自分で考えたい人は見ないでください。

　なぜ今回の問題が「ナポレオンに挑戦」なのか。中村センセの解説によると、「ナポレオン」は数学に対する関心が高く。国を栄えさせるためには数学が必要だと考えた。そしてイタリア遠征のとき、この問題の解法を知り、国へ持ち帰ったとのこと。

　ところで竹内センセのブログ「薫日記」の11月8日の記事によると、来年の始めあたりに「コマネチ大学数学科」の本が発売されるようだ。年末特番も決まったみたいで、今から楽しみだ。

■コマネチ大学数学科25：和算

今回は江戸時代の数学書「塵劫記」に出てくる「百五減算」という算術の問題。

ある人の年齢を 3、5、7 でそれぞれ割った余りがそれぞれ 1、2、3 になるとき、その人の年齢はいくつでしょうか？

で、さっそく私も「エクセル」で「百五減算」を作ってみた。「塵劫記」や「百五減算」は、Wikipediaに詳しい解説が載っているので、そちらを参照してほしい。

※ガダルカナル・タカさんの場合

ポイントは、3、5、7の最小公倍数が105になること。エクセルでは「=LCM(3,5,7)」とすれば、簡単に求めることができる。もっとも、3、5、7は素数なので、3×5×7＝105ということだ。

で、105をそれぞれ3、5、7で割ると、35、21、15になる。求める数（年齢）を「n」とし、3、5、7それぞれの数で割った余りを、a、b、cとすると、
百五減算の公式は、
n=70a+21b+15c-105k となる。（kは、ｎが105よりも大きいとき、何回が引くという意味）

番組を見ていて、一番ひっかかったのは、なぜ「35」だけを2倍して「70」にするかだろう。ちゃんと竹内センセは解説をしてくれているのだが、こちらの理解力が足らず、モヤモヤした感じが残った。

これは実際に「=mod(35,3)」としてみるとわかる。「35」を「3」で割ると、余りが「2」になる。

つまり、こーゆーことだ。
70は、5と7で割り切れるが、3で割ると1余る数
21は、3と7で割り切れるが、5で割ると1余る数
15は、3と5で割り切れるが、7で割ると1余る数
105は、3でも5でも7でも割り切れる数（最小公倍数）

番組では、全員が正解した。しかし、納得がいかないのは「コマネチ・フィールズ賞」をコマ大数学研究会が取ったこと。東大生チームは、ちゃんと数式を立てて解き、条件を満たす数として、52、157、262を出した。そこで、コマ大のロケで問題と同じ余りが「1、2、3」になった番組プロデューサの「吉田さん」が、157歳や、262歳はありえないから、「52歳」という答えだった。これを「最終的には見た目」と判断されたが、これが現実的な答えだ。百五減算だって、江戸時代105歳を超える長寿の人はいなかったろうから、105を引いているわけで、その点では同じだと思う。

私はコマ大数学研究会を応援しているが、今回の竹内裁定には疑問が残る。マス北野も「こういう情けが番組の視聴率を下げる」と発言していた。

でも、今回は全員正解の引き分けなので、オープニングの
ダンカン「倍数の例を挙げてください」
ガンビーノ小林「9は3の倍数」
〆さばアタル「25は5の倍数」
無法松「501はリーバイス」
という、久々のヒットで「フィールズ賞」をもらったと考えれば納得。コマ大、ファイト、ファイト、ファイト！！

■コマネチ大学数学科：集合場所問題

　「コマネチ大学数学科」の新学期が始まった。いつも私は酔っ払っているので、「iEPG」を使ってテレビ番組表から録画予約をしている。番組表では、1:45からの放映だったが、MLBの番組が中止の場合は「以降繰り上げ」とあった。野球などで放映時間が延長され「以降繰り下げ」というのは、まま、あることだが、盲点をつかれた感じ。MLBの放映が中止になり、番組は1:15にスタートしていたのだ。すっかり「いいちこ」な気分で、さて「コマネチ大学数学科」を見ようかとチャンネルを合わせたときには、すでに番組は半ばを過ぎていた。

　そんなわけで、今回の問題は「集合場所問題」なのだが、問題そのものを見ていないので、問題を想像してみる。

京都のような碁盤の目（格子状）の通りがある。5つのグループはそれぞれの位置にいる（●の中の数字は、人数）。このグループを1箇所に集めるとき、最適な集合場所（全員の移動距離の総計がもっとも短くなる場所）はどこか？

※Flashムービー：RSSリーダーでは表示されません（「Goo RSSリーダー」を除く）。また、方向キーを押しても動かない場合は、ムービー内を一度クリックしてください。

※追記（10月29日）：日本語入力がONになっていると、SPACEキーを認識しないことが判明。すまそん＞＜；

■中村センセによる「多数決の原理」
・集合点を仮に決める(ここでは、X=0,Y=0とした)。
・東西南北に1マスずつずらし、賛成が多ければ移動する。
・移動できなくなったところが最適な集合場所（答え）。

　上記の方法は、答えにたどり着く一般的な方法。「美しき数学の時間」では、たった5秒で解ける方法を紹介していたが、まだ放映されていない地域に住んでいる人のため、考える楽しみを奪うのは、やめておこう。

コマネチ大学休講

先週、番組の最後に「コマネチ大はしばらく休講」とあったので、気にはしていたのだが、秋の番組編成、特番の時期のためか、本日の「たけしのコマネチ大学数学科」は休講のようだ。

そこで、竹内薫センセの「頭がよみがえる算数練習帳」の冒頭に出てくる問題を引用させてもらおう。

　ある牧場では、300頭の牛を放牧すると10日で草がなくなります。また、600頭だと4日で草がなくなります。それでは、500頭の牛なら何日間、放牧できるでしょうか？　ただし、牛はみな、1日に食べる草の量が同じだとします。草は毎日、一定の割合でのびるとします。（ニュートン算）

とにかく、この本は、おもしろい。一気に読んでしまうのは、もったいないので、問題を解きながら、少しずつ楽しみたいと思う、今日この頃なのだ。

第23回：繰り込み

　CNC（チンパンニュースチャンネル）のキャスター、ゴメス・チェンバリンこと、スマイル君のテレビ出演は「種の保存法」に違反するとして、環境庁が調査に乗り出したというニュースが気になり、ストレスがたまったのか、収録中にウンコをしてしまい、途中退席、最後のシメの「ごもごもごもごも、ごもっとも～」ができなかったよぉ～の「たけしのコマネチ大学数学科」第23回。テーマは「くりこみ」。

　今回の問題は「12cmの板を落ちないようにズラして重ねていき、一番上の板が机の端から、1枚分はみ出すには、最低何枚必要か？」

　板が1枚ならば、長さ12cmの半分、6cmまで机からはみ出させてもよいことは自明だ。板が2枚の場合は、2枚の半分、1枚分の重量まではみ出させることができる。

　同様に3枚目、4枚目の位置も計算できる。で、4枚になった時点ではみ出た部分が「1」を超えるので、答えは「4枚」となる。

　前回の「暗号」では、問題と解説のつながりが、ちょっと強引なような気がしたが、今回の問題は、10分以内で解ける設問と「美しき数学の時間」へのつながりが、とてもスムーズで、すんなりと入っていけた。これなら数学好きな人も大満足なはず。もっとも私には難しすぎて「ゼータ関数」や「リーマンの未解決問題」など、ちんぷんかんぷんだったが。それでも、数学のスゴさと美しさを感じることができて、とても興味深かった。

　今回の問題も入っている、竹内薫センセの「頭がよみがえる算数練習帳」が、発売されたようだ。さっそくアマゾンで注文しよっと。

頭がよみがえる算数練習帳

著者：竹内 薫
販売元：筑摩書房

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第22回：暗号

　やっと、本1冊分の原稿を書き上げ、とりあえず、重荷がなくなり、「いいちこ」な気分の「たけしのコマネチ大学数学科」の「第22回」。今回のテーマは「暗号」。問題からして、暗号なのだが、ちょっと、端折ってしまうと「マス北野の誕生日は、何曜日か？」それをアルファベットでパソコンのパスワードとして入力せよ、という問題（ちょっと演出を変えてみただけ？）。で、2006年1月1日は、日曜日で、マス北野の誕生日は「1947年1月18日」だ。

　今回の問題、エクセルなら、考える必要もなくサクサクと……。

あ、コマ大数学研究会と同じ過ちを犯してしまった。英文として入力するには……。

というわけだ。

　エクセルでは、1900年1月1日を「1」として、1日ずつカウントして日付を連続した「シリアル値」として、9999年12月31日まで管理している。2006年9月14日は「38974」だ。だから、ある期間の日数を求める場合は、引き算すれば、簡単に求めることができる。

　9999年なんていう、ずっと先の未来よりも、過去の日付をちゃんと計算できるようにしてほしかったと思うのは私だけだろうか。たとえば「アインシュタイン」の生涯日数を計算しようとしても、生誕が「1900年1月1日」以前なので、エラーになってしまう。

　で、今回のテーマは「暗号」。なぜ、マス北野の誕生日の曜日を調べることが「暗号」につながるのか。竹内薫センセの「美しき数学の時間」によると、インターネット時代の公開鍵、秘密鍵を用いたRSA暗号にとって「モジュロ(MOD)」が重要なしくみを担っているということである。説明するのは大変なので、詳しくは「サルでもわかるRSA暗号」を参照してほしい。

　「モジュロ(MOD)」とは、ようするに、ある数をある数で割ったときの余り(剰余)だ。「モジュロ７をとる」と言ったら、ある数を「7」で割ったときの余り。「7を法とする世界」とも言えるようだ。つまり、この世界に「0～6」までの7つの数字しかなかったら、「6」の次は「0」になる。

　先ほど、エクセルでは1900年1月1日を「1」としていると書いたが、1900年1月1日は日曜日だ。1月2日は「2」で月曜日……1月6日は「6」で金曜日、1月7日は「7」という数字はないので「0」になって土曜日。日付が増えていっても、「=MOD(日付,7)」日付を7で割って余りを求めれば何曜日か、わかることになる。

(※2006年12月23日追記：ごめんなさい。1900年1月1日は月曜日です。Excelで日付と曜日が正しく表示されるのは、1900年3月1日以降です。)

　エクセルには、指定した日付の曜日を戻り値として返す「WEEKDAY」という関数がある。「=WEEKDAY(日付)」とすればよい。基本的に「=MOD(日付,7)」と同じ考え方なのだが、土曜日を「7」としている点が違う（その代わり「0」はない)。この関数を利用して、万年カレンダーを作ることができる。

　指定した年月の最初の日「1日」が何曜日になるかを求め、それから遡って、カレンダーの最初の日曜日に表示する日にちを求める。あとは、その数に「1」を足していくだけ。

　その「月」以外の「日にち」を灰色にするには、条件付き書式で「数式が」「=MONTH(A3)<>$B$1」として、書式で文字を灰色に設定する（※セルA3はカレンダーの最初に表示する日にち、セル$B$1は、何月かを表示しているセルを指定）。

　いまさら、万年カレンダーの作り方を教えられても……なんだかなぁと思う今日この頃、いかがお過ごしですか？ とゆーか、さんざん仕事でエクセルの記事を書き、趣味のブログでもエクセルの記事を書く私は、どうかしていると思う今日この頃。もっともファミ通にいた頃は、ゲームの仕事に疲れ、息抜きに好きなゲームをしていたが……。

第21回：等分

　ホントに頭のいい人って、自分が何をするべきかを考え、時間を使っている人なんだろうな。その場、その場で刹那的にやりたい事をやってきた私って、どーなのよの「たけしのコマネチ大学数学科」第21回。

　今回の講義は「等分」。第1問は、「円の中心[P]を通る直線を引き、図の面積を2等分せよ」という問題。あまりに簡単だったためか、考慮時間を残し、全員正解。というわけで、新たな問題が配られた。第2問も、同じく「角[P]を通る直線で図の面積を2等分する」問題だ。
　コマ大数学研究会のメンバーにとっては、晴天の霹靂だ。だって、ロケで汗を流し、巨大なノコギリで丸太を切ったのは何なんだったの？　ということになる。第2問は、いきなりロケなしのペーパーテストとなった。

　こういう図形の問題って、どういう補助線を引くかがポイントになるんだよね。でも、補助線を引こうにも限られているから、直感的に解答に辿り着く。

　第2問は、ちょっと手強い。まず、ちょっとわかりづらいかもしれないが、ブルーで色分けした2つの四角は、除外して考えても問題ない。すると、残りは7個なので、7個の四角を2等分することになる。

「(1/2)*4*X=(7/2)」の式を整えると、「X=1+(3/4)」になる。Xは、底辺が「4」で面積が「7」の四角形の高さに相当する。その対角線を結べば、面積は(1/2）になるわけだ。ポイントは補助線をどう引くかだが、マス北野は、これに苦労した。東大生コンビは計算で(1/4)と(3/4)の位置を出したが、あとは目分量で線を引いた(^^;
図は、中村亨センセの「美しき」解答。

　番組を見忘れた人のため、今回は、この他にも次のような問題が用意されていたので紹介しておく。面積を2等分することは変わらないが、右上の例題のように2つの同じ形になるようにするわけだ。図形の問題は、作図に時間がかかる。いったい私は何をやっているのか……。

第20回：ラマヌジャン

　これが頭の中にひっかかっていると、仕事がなかなか進まない「たけしのコマネチ大学数学科」、許して編集者さん、懇願の「第20回」。今回のテーマは「ラマヌジャン」。

　今回、コマ大数学研究会のロケ地は、高円寺の商店街。私が放送作家なら、湾岸に並ぶ、シャッターに大きく数字がペイントされている倉庫をロケ地に選ぶな。とゆーか、この番組、放送作家は介在しているのか。それは、ともかく「10軒以上、50軒以内で1から番号の振ってある家がある。それを左右（番号の小さいほうからと、番号の大きいほう）から番号を足していき、左右が同じ数になる家の番号を答えよ」という問題。

　まずは、1番から8番までの例題を考えると、6番目の家が左右の番地を足した数が等しくなる。これを踏まえて、問題を解くわけだが、実際にロケで左右から数を足していく、数学研究会はカンタンジャンと思うかもしれない。私も力まかせにエクセルで1から50までをオートフィルで入力し、B列は上から、C列は下から足していく方法で解こうとしたが、そうは、イカヌジャン。数が合わないのだ。つまり、家の数は10以上、50以内ということで、決まっていないということ。数学研究会も、最初、そこでつまづいたが、研究会メンバーの「〆さばアタル」のひらめきで見事、解決した。

　で、完全なネタばらしになってしまうが、私も数学研究会と同じ方法で正解にたどり着いた。言い忘れたが、エクセルで足し算の数式を入力する際、B列は上からなので問題ないが、C列の場合、下からとなる。エクセルの相対参照は、アクティブセルを基準にして行われるので、下から上方向のオートフィルでも問題ない。

　マス北野は、例題から見事な直観力を発揮して正解したが、「ラマヌジャン」は天才的な直観力を持った数学者だったらしい。竹内薫センセの「美しき数学の時間」で、今回のテーマ「ラマヌジャン」の連分数を使った解法を紹介してくれた。

　家の数が増えた場合、力まかせの数学研究会の手法では、なかなか正解にたどりつけなくなる。ラマヌジャンは、友人に「1500以内で…」という条件を加えられた問題を出されたとき、即座に「204」と答えたそうだ。竹内薫センセは、愛機「MacBook」の自作(?)プログラムで、連分数による解法の実演を見せてくれた。

　私は「連分数」のことなど、まったくわからないが、ある法則を見つけた。これなら「エクセル」だって、数が増えたときも一瞬で答えることができるぞ。

　最初の家が8軒のときの例題では、分母が「2」、分子が「3」で、答えが「2×3」で「6」になった。次が「7」と「5」で、答えが「35」だ。すると、次の分母は前の答えの分母と分子を足したもの。分子は、その分母に前の答えの分母を足したもの、と考えた。1行目の数式は「=B1+B2*2」と書き表すこともできる（こっちのほうがスマートかも）。家の数は、竹内センセの解説どおり、「分子(n)の二乗」と「分母(m)の二乗×2」と比べて、小さいほうを取る（…とココでも、法則発見）。

　この簡単な数式を入力したセルをオートフィルで入力すると、ちゃんと答えが出るじゃないですか。どうしてそうなるのか（この方法が正しいことを）証明しなさいと言われても、私にはできないけれど……。だいたい「連分数」なんて、わけがワカラヌジャン！

無限の天才―夭逝の数学者・ラマヌジャン 著者：ロバート カニーゲル 販売元：工作舎 Amazon.co.jpで詳細を確認する

第19回：ジャンケンゲーム理論

　仕事に追われ、1週間遅れの「たけしのコマネチ大学数学科」第19回。今回のテーマは、昔懐かし「グリコ・ジャンケン」。

　「グリコ・ジャンケン」と言っても、若い世代の人にはわからないかもしれない。要は、ジャンケンをして、グーで勝ったら「グリコ」と3歩進み、チョキで勝ったら「チョコレート」、パーで勝ったら「パイナップル」とそれぞれ6歩進む……これを繰り返し、できるだけ進んだほうが勝ちという単純なゲームだ。

　で、問題は「グー・チョキ・パーをどのような割合で出したら、いちばんベストな手になるかを答えよ」というもの。今回、コマ大数学研究会のメンバーは、東京タワーの外階段（600段）を使って検証。ふたチームに別れ、先に上りきったほうのチームを勝ちとし、勝利チームのグー・チョキ・パーの出現割合「6:8:3」を答えとした。マス北野は「1:3:2」、東大生コンビは、最も期待値が高くなる計算で「0:1:0」と、チョキばかりを出す、見え見え作戦だった。

　「美しき数学の時間」では、中村亨センセが単純なゲームを難しい計算で解き明かし、誰もが納得する答えを導き出した。中村センセの戦法を組み込んだ「Flash」のジャンケンゲームを作ったので、遊んでみてほしい。あまり勝負が長くなっても困るので、先に「60ポイント」を取ったほうを勝ちとした。東京タワーの階段数と同じ「600」ポイント（10回勝負）をすれば、コマ大数学研究会の答えに近づくかも……。

　ノーベル賞には「数学賞」がないが、「ゲーム理論」で1994年ノーベル経済学賞を受賞した数学者「ジョン・フォーブス・ナッシュ」を題材にしたのが、映画「ビューティフル・マインド」なんだってさ。

ビューティフル・マインド

販売元：角川エンタテインメント
発売日：2005/04/28

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第18回：割り当て問題

　ふだん家から一歩も出ない、ひきこもり生活を送っているが、月に一度くらい、校了とか、打ち合わせのため、編集部に行く。原稿や画像の受け渡しはネットで行えるが、インターネットの時代になっても、直接、顔を合わせての打ち合わせが必要だ。しかし、めったに人ごみに出ることはないし、歩かない私にとって、かなり疲れることで、家に帰るとぐったりしてしまう「たけしのコマネチ大学数学科」の第18回。

　今回の問題は、野球選手Ａ～Ｅのデータを元に、どのポジションに割り当てたら、チームの戦力をベストにできるかというもの。データの数値は、低いほどよい。つまり、データの数値は、エラーの数と考えるとわかりやすい。

　今回もマス北野は数学的なカンを見せる。データをゴルフのスコアと見なし、最小値を「パー」と考え、各選手の最小値をデータから引く。

最小値「パー」の合計は「26」となるので、ポジションの割り当ては、いかに、この最小値に近づけることができるかが問題となる。それで、各選手のパー「0」をチェックすると、ポジション「SS」では、選手が重なり、いっぽう「外野」では誰もいない状況になる。

Ｂ選手の「3塁」は決定で、「1塁」はＣ選手にまかせてもいいだろう。問題は、「外野」を誰が務めるかである。もし、Ａ選手が「2塁」のポジションをとったら、Ｄ選手か、Ｅ選手が「外野」をやらなければならなくなり、どちらも「＋3」でチームにとっては、ありがたくない。Ａ選手が「外野」をやってくれれば、「＋1」で収まる。残る「2塁」と「SS」だが、Ｄ選手が「2塁」をやると「＋3」になってしまうので、Ｅ選手が「2塁」（＋1）、Ｄ選手が「SS」ということで、チームとしては、ベストなポジション割り当てになる。

　中村亨センセの「美しき数学」では、さらに手順を追加し、確定的にポジションを決定できるようにデータを組み立て直していたが、私としては、マス北野の「パー」と「ハンデ」という考え方のほうがわかりやすかった。

　こういった考え方は、現実の問題として広く使われているようだ。番組では「線形計画法」が紹介されていた。中村亨センセの言うとおり、選手が５名の場合は、選手のポジションの組み合わせは、５の階乗で120通りだが、選手が10名になると、3,628,800通りにもなる。力まかせに、すべての組み合わせを実行し、最小値を求めるやり方では効率が悪い。そこで、いろいろなアルゴリズムが考えられているという。

　ところで、関係のない話だが、あるブログで「編集者Blogはナゼ滞るのか？」という記事を目にしたが、その理由として……

１．通常業務が忙しいので書けない。
２．編集後記ノリのヌルイ内容では厳しい批判に晒されるので書けない。
３．特に主義主張がある訳でもなく書くべき事が無いので書けない。
４．給料が増える訳でも講演依頼が来る訳でも無いので馬鹿らしくて書けない。
５．編集長も書いてないから．．．。
６．怠け者の家系なので．．．。

　……と理由を挙げていた。もちろん、これには「ライター」の立場は含まれていないが、「ライターのブログはナゼ更新が滞るのか？」ということならば、それは「編集者が見ているから」という項目を付け加えたい。もし私が編集者の立場なら、お金を払って原稿を依頼しているのに、その原稿の締め切りを守らずに、一銭の得にもならぬ、ブログの記事を書いている。「そんな時間があるのなら、1時間でも、1分1秒でも早くこちらの原稿をアップしろ！」と思うのがトーゼンだ。やはり怒りますよ。つまり、ブログの更新ができるのは、ちゃんと締め切りを守っているライターのみ……とゆーか、少なくとも、修羅場ではない状況、人間関係が壊れない状況ということなんだよね。

補習：ペンローズ

　「たけしのコマネチ大学数学科」第17回のテーマは「エッシャー」だった。例題として「ペンローズの三角形」が登場したが、少しペンロースに関して補習しておこう。エッシャーとペンローズは、互いに影響を与え、つながりがあったようだ。エッシャーの絵に触発されたペンローズが作ったパラドクシカルな三角形が「ペンローズの三角形」だ。

　ロジャー・ペンローズの父は遺伝学者の「ライオネル・ペンローズ」。祖父は肖像画家で、父も絵の才能に恵まれ、インク画や油彩を描いていたそうだ。ペンローズが例の三角形の絵を父に見せると、父は興味を示し、さまざまな不可能物体や不可能建築の絵を描き、やがて、どこまでも上り続ける階段を作った。ペンローズと父は、その描いた絵のコピーをエッシャーに送り、エッシャーはそれをさらに発展させ「上昇と下降」という作品に結実させた。また「滝」も、ペンローズの三角形をベースにした作品だという。
（参考：[対談]ロジャー・ペンローズ＋佐藤文隆）

　ペンローズといえば、「ペンローズのタイル」が有名。下の図は二種類のタイルを組み合わせて、平面充填していくもの。無限に細分化していくことが可能であることから、無限の平面を充填できることになる。しかも、タイルの組み合わせが反復しない。
（参考：さんすう・数学）

　この非反復性の「ペンローズのタイル」をエッシャーは見ることなく他界した。

第17回：エッシャー

　「貧乏ヒマなし」は、あまりありがたくはないけど、貧乏でヒマになってしまうと、生活もできなくなって、もっと困る。働けど働けど我が暮らし楽にならず、じっと手を見る「たけしのコマネチ大学数学科」の第17回。

　まずは例題。左の図は「ペンローズの三角形」。実際にはありない形をしているが、ある位置から眺めると、このように見える図形を作ることができる。

　またまた「Shade」で作ってみたのが、こんな図形。カメラ位置を調整して、普通のレンズだと遠近感がついてうまく重ならないので、並行投影すると、「ペンロースの三角形」に見える。

　今回の問題は、ある角度から見たとき、下の図のように見える図形を作りなさいというもの。

　これはエッシャーの「ベルベレーデ（物見の塔）」にも登場する図形だそうだ。今回は、どんな方法でも、上の図形に見えればいい。非常にユニークな解答をしたのが数学研究会のメンバーだった（不正解だったけど）。東大生チームは、解答へ辿り着く方法はマス北野と同じだったが、雑な作りなためフィールズ賞を逃した。

番組で竹内薫センセが紹介していた本がおもしろそう。

「ゲーデル、エッシャー、バッハ - あるいは不思議の環」

中心となっているテーマは「自己言及」だが、これが数学におけるゲーデルの不完全性定理、計算機科学におけるチューリングの定理、そして人工知能の研究と結びつけられ、渾然一体となっている。エッシャーのだまし絵やバッハのフーガはこれらをつなぐメタファーとして機能している。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）

ゲーデル、エッシャー、バッハ
―あるいは不思議の環 20周年記念版

著者：ダグラス・R. ホフスタッター
販売元：白揚社

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第16回：影

　曙太郎が不甲斐なくダウンしたり、亀田興毅が不甲斐なくダウンしたり、一週間は瞬く間に過ぎて「たけしのコマネチ大学数学科」の第16回。

下図のような周りを同じ高さの塀で囲ってある土地がある。真南から太陽が照りつけ、２ｍの長さの影ができた。このときの影の面積は？

　酔っ払った頭では思考力がゼロ。ただ、ぼーっと番組を眺めていただけで、考えようともしなかった。東大生チームは完璧な解答。マス北野も問題を単純化する直観力は見事だなぁ……。２ｍの影ができるということは、図形を２ｍ並行移動したことと同じ。つまり東西方向の幅に平行移動させた２ｍを掛ければ面積がでる。ただし、ＡＢＣＤの部分では影が重なるので、その分を引いてやらなければならない。

　中村亨センセの「美しき数学の時間」では、山手線（全長34.5Km）のレールとレールの間の面積を求める方法も紹介された。

線路名称の「山手線」は、品川駅から、渋谷駅、新宿駅、池袋駅を経由して田端駅までを結ぶ、全長20.6kmの路線の名称。
　運転系統の「山手線」は、上記の山手線路線「品川駅～田端駅」に加え、東北本線の「田端駅～東京駅」、東海道本線の「東京駅～品川駅」を合わせて環状運転を行なう運転系統の名称。起点の大崎駅から、大崎駅まで戻る環状線1周の距離が34.5kmで、所要時間は約60分。一般的に、山手線といえばこちらの意味で使われていることが多い。

http://www.rbbtoday.com/column/mtakaya/20050420/

　「なるほど～」というわけで、中村亨センセによると、面積を求めるには、全長にレール幅を掛ければ求めることができる。なぜ、そうなるかは、ココのサイトを見てほしい。
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/obi/obi.htm

　ＪＲ在来線のレール幅は1067mmなので「34500×1.067＝36811.5㎡」ということになる。中村亨センセは「線路が右にカーブしようが、左にカーブしようが、微分していくと台形になり、台形の面積を求める「(上底＋下底)÷２×高さ」の「(上底＋下底)÷２」は、レールとレールの間の中央になり、高さはレール幅になる。全長というのは、レールとレールの中間を計測しているはずだから……」と言うけれど、山手線って内回りと外回りの複線だよね。全長といったとき、どちらを計ったのだろう。もし、内回りと外回りのレールの中間なら、かなり誤差が出てくるんじゃないかと気になってしまった……。我ながら、ベタなツッコミで、申し訳ない（＞＜；

第15回：ビュッフォン

　締め切りに追われつつも、やはり見てしまう「たけしのコマネチ大学数学科」。今回の問題は「1辺10cmの正方形のタイルをしきつめた床に直径3cmのコインを落としたとき、4つのタイルに重なる確率は？」

　もう「エクセル」はあきらめて、「Flash」で作ってみた。プレイボタンを押すと、数学研究会と同じく「1010回」コインを投げる。