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2011年8月28日 (日)

■コマ大数学科:奇跡の軌跡

長い間、放置しっぱなしの当ブログだけど、フリーの「ココログ」って、1年間、新規の書き込みがないと削除されてしまうみたいだ。なので、ときたま、記事を書くことにする。ひさしぶりの「たけしのコマ大数学科」。

問題:図のように3つの車輪が異なるサイズで、車輪Cは車輪Bに、車輪Bは車輪Aに取り付けられていて、それぞれ異なる速さで回転する観覧車がある。乗客が1番小さい車輪に乗った時、その乗客の通過する軌跡を描きなさい。

車輪Aは、ゆっくりと反時計回り
車輪Bは、車輪Aの7倍の速さで反時計回り
車輪Cは、車輪Aの17倍の速さで時計回り
車輪Bは、車輪Aの半分の半径
車輪Cは、車輪Aの3分の1の半径

今回の問題は、計算で解くというより、イメージできるかの勝負。コンピュータじゃないと作図することも難しいので、似たような形ならオーケー。上のFlashの「プレイ」ボタンを押せば、正解を表示する。

実際に観覧車を作るには、60億円程かかるとゆーことで、コマ大数学研究会は、美術製作会社アックスの協力を得て、モーターと歯車を利用し、車輪Cに付けたマジックインキで図形を描く、プロッターを作成して検証した。

マス北野は、2個目の車輪Bの動きまではイメージできたが、それに逆回転の車輪Cの動きが加わると、お手上げの状態だ。東大生チームは、式を立て、計算で求めようとしたが、短時間で結果を求められるような問題ではない。

低予算ということもあり機械的精度はイマイチだったが、一番、近いグラフを描いたということで、コマ大フィールズ賞は、コマ大数学研究会ではなく、プロッターを制作した、美術製作会社アックスのまるちゃんが受賞した。

東大生の方法は、たぶん、時間をかけて、丹念に計算結果の座標をプロットしていけば、全体像が見えてくるはず。今回の問題は、計算式を立てるのは比較的簡単だけど、膨大な計算が必要ということで、コンピュータ向きなのら。人間の直感ではイメージしづらいことでも、コンピュータなら簡単にグラフ化、見える化することができる。

爺は、観覧車のそれぞれの車輪の半径や速度の数値を変えたとき、どんな軌跡を描くのか興味をひかれたので、冒頭のFlashを作成して、いろんなグラフを描いてみた。

Trace_01

Trace_02

Trace_03

で、実際にコンピュータでグラフを描くには、どーしたらいいかについて、ちょこっとだけ触れておこう。

Trace_04

たとえば、車輪Aの観覧車に乗った客の軌跡は、円になるよね。X=cosθ、Y=sinθのθの部分に1度~360度の数値を順次代入して、そのX,Y座標をプロットすれば、円になる。車輪Bの軌跡は、車輪Aの軌跡に車輪Bの座標を加えたものになる。車輪Cの軌跡は、車輪A+車輪B+車輪Cの座標だ。なにが言いたいかというと、最終的な車輪Cのグラフは「足し算」で表すことができるということ。

上のグラフは、ある企業の株価変動、あるいは、為替変動のグラフのように見えないこともない。これも単純なサインウェーブに乱数を足し合わせることで描くことができる。

ま、実際の株価変動や為替変動は、こんなに単純なものではないけれど、逆に言えば、複雑な動きの関数グラフf(x)があったとき、もしかしたら、単純な関数の足し算で表すことができるかも……ということなんだよね。


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