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2010年7月23日 (金)

■コマ大数学科189講:数検に挑戦

ガンビーノ小林が漢検準一級を取り、平成教育学院にも出演したが、今回は「漢検」ではなく「数検」2級の問題。世の中には、パソコン検定やインターネット検定まで、いわゆる資格商売があふれている。受験者が多くなれば、受験料だけでなく、テキストなども売れるので、おいしい商売なんだろうな「たけしのコマ大数学科」

問題:図のように円Oに平行でない2つの弦ABとCDがあります。弦ABの中点Mでこの弦に接し、しかも弦CDに接する円をPとします。円の中心Pと円Pを以下の条件に従って作図しなさい。
≪条件≫
・コンパスとものさしを使って作図
・ものさしは直線を引くことだけに使用
・分度器は使用不可
※作図に用いた線は残しておき、線を引いた順に(1)から番号をつけなさい。

189講:問題図

画面をクリックすると、Flashが別窓で開くはず。円や直線を描くときは、先に「Circle」や「Line」を選んでから、開始点から終了点までドラッグする。「Deviders」は、中心点をクリックするだけで、直前に描いた円と同じ半径の円を描く。「Answer」は、最終的な答え、点Pを中心として円を描くときに選んでほしい。

コマ大数学研究会は、今回も、検証に必要な道具探し。やって来たのは、上野にある創業138年の老舗「岡本紙文具店」。全国文具事務用品団体連理事、岡本紙文具店会長の岡本光司さんに、いろいろな珍しい文具を見せてもらう。爺も昔漫画家だったから、動きを表す「スピード線」などを描くとき、雲形定規や、自由に曲げることができる自在定規を使っていたよ^^;

それはともかく、今回の問題を見せて、役に立ちそうな文具を紹介してもらうつもりのコマ大生だったのだが……。店長が見つけてきたのは、「エジプトひも」の資料。商品化されていないので、岡本紙文具店でも扱っていない><;

で、「エジプトひも」とは、どんなものか?

189講:図(2)

わっか状に繋がったヒモに一定間隔で12個の印がついている。説明のため、印に1~12の番号を振ると、1、5、9の印を引っ張ると、正三角形になり、1、6、9を引っ張ると、辺比が5:4:3の直角三角形になるというもの。

エジプトひもクラブ
(亀井喜久男 数学教育研究のページ)
http://www.ctk.ne.jp/~kamei-ki/

スタジオでは、この「エジプトひも」を使って、作図に挑戦した。しかし、土地や建造物などの測量に使ったと思われる「エジプトひも」、小さな問題図の上では、正確さに欠ける^^; いびつに歪んだ円になってしまった。無理やり円を描くとしても、中心点を画鋲などで止め、ひもの長さを半径にして描いたほうがよかったのでは?(うむ、これではエジプトひもの必要性がない^^;)

コマ大生の説明をもとに、爺が描き直したのが下図。

189講:図(3)

AC、BDを直線で結び、各辺の中点を結んだ線の交点をPとし、円Pを描いた。各辺の中点は、ABの長さをひもで測り、それを二つ折りする方法で作図。でも、この答えでは、辺ABとPMが直角でないよね。つまり、円Pは、ABの中点Mで接していないということになる;;

マス北野&ポヌさんチーム、そして、衛藤樹さん&伊藤理恵さんの東大生チームは、難なく作図し、正解した。早い者勝ちということで、東大生チームがコマ大フィールズ賞を獲得した。作図方法は、まったく同じだったので、中村亨センセの「美しき数学の時間」で紹介する。

中村亨センセの「美しき数学の時間」

中村センセは、まず、完成図をイメージすることが大切だと言う。
問題の条件:円PはABの中点MでABに接する。
定理(1):円の接点を通る半径は接線に直交する。
定理(2):円外の一点から円に引いた接線の長さは等しい。
定理(1)より、PはABの垂直二等分線上にある。ABとCDを延長した交点をE、CDと円Pの接点をNとすると、定理(2)より、EPは、∠MENの二等分線上にある(EM=ENなので、△PME≡△PNE ∴∠PEM=∠PEN)。

189講:図(4)

≪作図手順≫

(1)A、Bを中心に半径ABの円を描く。その交点を結び、辺ABとの交点をABの中点Mとする。
(2)辺ABを延長した直線を引く。
(3)辺CDを延長した直線を引く。(2)との交点をEとする。
(4)点Eを中心に適当な半径の円を描き、CDとの交点をF、ABとの交点をGとする。F、Gを中心に円を描き、その交点をHとする。EとHを結ぶ直線を引く。
(5)直線(1)と(4)の交点をPとする。Pを中心に半径PMの円を描く。

※爺註:MとEが定まった時点で、EM=ENなので、CD上の点Nは、Eを中心とした半径EMの円とCDの交点で、Nが定まる。Nを通り、かつCDの垂直線を引けば、ABの垂直二等分線との交点がPとなる。留意してほしいのは、円Oと円Pは中心がズレているので、必ずしもNは、CDの中点ではないこと。作図するには、ひと手間余計にかかる。

※たけしのコマ大数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2009年度全講義リスト
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト

コマ大数学科DVD-BOXガイド


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コメント

はじめまして
エジプトひもにご注目いただき
大変感謝しております。
ご指摘のようにエジプト紐は屋外の大規模な数学実験に適切でコンパスの役は難しいとおもいます。
屋外の時には参考にしてください。

http://archives.nhk.or.jp/chronicle/B10002200090404160030190/

http://www.gifu-np.co.jp/tokusyu/nie/hiroba/hiroba200905183.htm

よろしくお願いします。

投稿: 亀井喜久男 | 2010年7月23日 (金) 15時54分

亀井さま、コメントありがとうございます。

「エジプトひも」おもしろいですね。「エジプトひも」を使うと、3:4:5の直角三角形を簡単に作ることができるわけですが、エジプトひもの図をスクリプトで描こうとしたら、acos(4/5)≒36.87度、acos(3/5)≒54.13度などと、三角関数を使って計算しなくければなりませんでした(とくに、斜辺に等間隔で並ぶ印の座標計算)><;
エジプトひもは、直角だけでなく、何も考えずとも、これらの角度が作れちゃうところがすごい^^;

投稿: Gascon | 2010年7月24日 (土) 21時51分

お久しぶりです。

定年退職しました。

1月13日にドローン活用の算数授業に挑戦しました。
見てやってください。


古代の縄の数学で執筆しようと格闘中です。

さて昔務めた小学校の近くに友人が校長先生をやっていますので頼んで
エジプト紐の授業を実践してきました。

情報 どこかで役立てていただければ幸いです。

https://www.youtube.com/watch?v=Ek_VLk80Uv4

https://www.youtube.com/watch?v=XuOxCWgQUPI

https://www.youtube.com/watch?v=zNzbpKS61gA

https://www.youtube.com/watch?v=NAjM0cPJVQ4

https://www.youtube.com/channel/UCW3-EI6PPrW2WyoKBLVmzgQ/videos?sort=dd&view=0&shelf_id=0

それではまた

亀井喜久男

投稿: 亀井喜久男 | 2016年1月20日 (水) 11時53分

古代の縄の数学で執筆しようと格闘中です。

さて昔務めた小学校の近くに友人が校長先生をやっていますので頼んで
エジプト紐の授業を実践してきました。

情報 どこかで役立てていただければ幸いです。
6年1組
https://www.youtube.com/watch?v=Ek_VLk80Uv4
6年2組
https://www.youtube.com/watch?v=XuOxCWgQUPI

下米田小学校
https://www.youtube.com/watch?v=zNzbpKS61gA

エジプト紐

https://www.youtube.com/watch?v=NAjM0cPJVQ4
ドローン空撮いろいろ
https://www.youtube.com/channel/UCW3-EI6PPrW2WyoKBLVmzgQ/videos?sort=dd&view=0&shelf_id=0


そういえばちょうど 参観日だったので友人の女性市会議員が授業見学に来ていて
ブログを上げてくれていますので紹介します


http://blog.goo.ne.jp/yuminsakura/e/3dcafa4b0204325c57d083d5382fdbb4

そこから美濃加茂市の空撮動画もあります
お楽しみください


それではまた

亀井喜久男

投稿: 亀井喜久男 | 2016年1月27日 (水) 09時56分

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