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2010年7月 9日 (金)

■コマ大数学科187講:補助線

自転車の補助輪というと「みそっかす」な感じだし、修学旅行のバスで補助席だと、かなり冷遇されている感じだ。でも、数学の幾何問題の「補助線」は、スポットライトを浴びるスターのような、ひらめきと驚きの「たけしのコマ大数学科」

問題:三角形ABCの内部に点Pがあります。AP=√3、BP=5、CP=2、AB:AC=2:1、∠BAC=60°であるとき、三角形ABCの面積を求めなさい。
※2010年 数学オリンピック(JMO)予選問題
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo20yq.html

図(1)

△ABCは、辺の比が、2:1:√3の直角三角形だということはわかるが、辺の長さがいっさいわからない><; どこに補助線を引くかがポイントなのだけど……。

コマ大数学研究会の答え

我らがコマ大数学研究会は、なぜだかわからないけれど、占い師の元へ。筮竹(ぜいちく)占いの教えを乞う。問題図を前にして、筮竹占いで答えを導くのかと思いきや、筮竹をばらまき、たまたま、長方形の形になった補助線を見つける。問題図の上に筮竹を1本1本、ボンドで貼り付けていくが、意味不明^^; 今回の問題は、△ABCの各頂点から、Pまでの距離はわかっているが、実際に問題文の条件を満たす、辺比が2:1:√3の直角三角形を描くことは、かなり難しい(爺の図も、かなりいい加減;;)。そのあたりをロケで検証してほしかった。

図(2)

問題文の図が正確ならば、辺の長さを定規で測ってしまと、簡単に△ABCの面積を求めることができてしまうので、人体の各部の長さを元に辺の長さを求める(ちょっと設定が苦しい><;)。図は、問題文を10倍した大きさなので、(1/100)を掛けて、答えは「7.65平方cm」。

マス北野&ポヌさんの答え

辺の長さがわからない三角形。マス北野は、包みを開けるようにパタ、パタ…と、各々の辺を軸に対称的な補助線を描いた。すると、辺の長さがわかる五角形になる。この五角形の面積は元の三角形の2倍。さらに五角形を三角形で分割するような補助線を引くと、面積を計算できる三角形の集まりになる。マス北野は、ここまでやって、あとの計算はポヌさんにまかせた。

答えは、(7√3)/2+3平方cm
(※約9.062)

木村美紀&山田茜さんの答え

木村美紀&山田茜さんの東大生チームは、いろいろな補助線を引いてみたが、お手上げの状態。三角形の内側に補助線を引くという常識に囚われていると、うまくいかない。最後は、辺ACの長さは、だいたい4くらいだろう…という勘で、

答えは、8√3平方cm
(※約13.856)

中村亨センセの「美しき数学の時間」

今回は、マス北野&ポヌさんチームが、ばっちりの正解。コマ大フィールズ賞を獲得した。

図(4)

まず、△ABCは、直角三角形であることを再確認。AB:AC=2:1 ∠BAC=60°∠ACB=90°∠ABC=30°

∠QBRは、∠ABCの2倍の、60°で辺BQ,BRは、共に5なので、△QBRは一辺が5の正三角形。QR=5

∠C=90°を2倍すると、∠RCS=180°(一直線)、CPの長さは2、CS=2、CR=2、つまり、RSの長さは、4

∠BAC=60°の2倍して、∠QAS=120°AQ=√3、AS=√3なので、△AQSは、二等辺三角形

図(5)

ちょっといい話は、補助線の問題を2つ紹介。

BCを一辺とする正方形を作ると、Dはその中心。
BFを一辺とする正三角形を作ると、GADは一直線で、□BCEFや△BFGは、GADに関して対称。

∠AGB=30°
△ABG=△ABC
(BG=BC、ABは共通、∠ABG=∠ABC=75°)
∴∠ACB=∠AGB=30°

ガスコン爺の「美しくない数学の時間」

問題図とマス北野の補助線の図は、爺がじつにいい加減に描いた図。マス北野のように補助線を引くと、元の三角形の辺の長さがわからないまま、面積を求めることができる。これが今回の問題のおもしろいところだ。

しかし、ブログ用に問題図を描こうとしたら、はたと困ってしまった。辺の比はわかっているが、実際にどの位の大きさで描けば、AP=√3、BP=5、CP=2という条件を満たすのか、わからない。Pの位置が特定できないのら><;

中村センセの「美しき数学の時間」の図は、もう少し正確な図にしたいなぁと思い、寸法のわかっている五角形から、FlashのPoinを使い、スクリプトで作図して、元の三角形を描くことにした。FlashのPointクラスは、極座標で座標を何度回転させるとか、直交座標に変換するとか、座標に座標を足し合わせるような、いわゆるベクトル計算ができる便利な機能ね。

図(8)

問題文から三角形は、2:1:√3の直角三角形であることがわかっているし、すでに解答から、面積は「3+(7/2)*√3」であることがわかっているので、ACの長さを「X」とすると……。

図(9)

「辺ACの長さは、3.234826365531503になるよ」と「Maxima」が教えてくれる^^; なんとも、酒臭い爺の、もとい、泥臭い爺の美しくない数学だ><;

※たけしのコマ大数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2009年度全講義リスト
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト

コマ大数学科DVD-BOXガイド


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コメント

5/8 が見れないですimpact

投稿: chopperman | 2010年7月10日 (土) 07時59分

choppermanさん、コメントありがとうございます。

たぶん、ケータイなど、モバイル向けのサイトからのアクセスだと思います。

ココログでは、頼んだわけではないのに、勝手に当ブログ「ガスコン研究所」のコンテンツをモバイル向けに自動変換したサイトを作成しています。モバイルサイトについては、爺は、ノータッチです。編集できるのかどうかもわかりません。

で、問題なのは、この「ガスコン研究所」では、Flashを多用していることです。自動生成されたココログのモバイルサイトでは、Flashは、無視されて表示されません。爺もあれこれ、この間、代替イメージを用意したり、代替テキストを表示するように思考錯誤をしてきましたが、うまい解決方法が見つかりません><;

というわけで、ケータイなど、モバイル環境で、この「ガスコン研究所」を訪れてくれた人は、ご不便をおかけしますが、何卒、ご理解ください。

投稿: Gascon | 2010年8月24日 (火) 00時43分

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