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2010年6月25日 (金)

■コマ大数学科185講:名古屋大学に挑戦

国立大学に挑戦シリーズ第2弾。名古屋大学(名大)は、ノーベル賞やフィールズ賞の受賞者を輩出している名門の大学だ「たけしのコマ大数学科」

問題:3x+2y≦2008を満たす、0以上の整数の組(x,y)の個数を求めよ。
※名古屋大学(理系)前期 入試問題

上は、3x+2y≦18としたときの図。x≧0, y≧0と、この式に囲まれた部分に整数の格子点が何個あるかとゆーことね^^; ステッパーの数値を変えると、格子点の数を計算するようにしたけれど、グラフは変わらない><;

コマ大数学研究会は、名古屋大学出身者にアポをとるべく、ネットで検索。道重さゆみ(モーニング娘。)のお父さんが名古屋大学出身であることを発見。事務所を通して、お父さんに出演交渉をしたが、交渉不成立。今回出演の名古屋大学出身者は、株式会社アーベルソフト代表取締役社長の佐藤達雄さん。ノーベル物理学賞を受賞した益川さん(名古屋大学出身)とは、高校も同じで、先輩、後輩の関係だそーだ。

で、国立大学に挑戦シリーズでは、正解するだけでなく、その所要タイムも競われる。さっそく問題を解いてもらう。

名大OB、佐藤社長の答え
「337010」
タイム:6分38秒

マス北野&ポヌさんの答え

図(1)

マス北野は、「y=-(3/2)x+1004」のグラフを描いたが、計算は、ポヌさんにおまかせ。最初に書いた答え「335」。しかし、東大生チームが答えを書くのを見たマス北野は「ぜんぜん桁が違う」とあわてて消す。次に「672680」という答えを書いたが、これも消して、最終的な答えは……。
「224450」

小橋りささん&岡本麻希さんの答え

いっぽう、小橋りささん、岡本麻希さんの東大生チームも、いったんは「336340」と書いたが、計算ミスに気付き、最終解答は「337010」。

考え方としては、マス北野と同じく「y=-(3/2)x+1004」をグラフを描き、xが偶数の場合と、奇数の場合に分け、格子点の数を計算し、足し合わせた。※中村センセの「美しき数学の時間」を参照。

正解は「337010」で、東大生チームは正解したが、タイムは、6分47秒。佐藤社長の6分38秒には、9秒及ばず、名古屋大学の勝利。コマ大フィールズ賞のトロフィーには、佐藤社長の名前が刻まれることになった。

中村亨センセの「美しき数学の時間」

図(2)

図(3)

≪参考≫
2008 名古屋大学(理系)前期(問題解答

※たけしのコマ大数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2009年度全講義リスト
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト

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コメント

はじめまして。
通りすがりですが別解を見つけました。

O:(0,0),A:(0,1004),B:(668,0),C:(668,2)
という台形AOBCを考えればピックの定理が使えます。

上の台形の辺上のy=-(3/2)x+1004
の部分の格子点の数は0≦x≦669.3の範囲で偶数xの個数と同じですから335個とわかればあとは数えられます。

面積S、多角形の周上の格子点N、内部の格子点Pとすると
S=(1/2)N+P-1なので
S=336004
N=2008
を代入すれば
P=335001です。
問題で求める格子点は台形の外の(669,0)も数えるので

N+P+1=337010となります。

もう一つの設問の空間の方は地道にやった方がよさそうです。

投稿: 腰痛より復帰 | 2010年8月20日 (金) 09時07分

通りすがりの腰痛より復帰さま、コメントありがとうございます。

爺も冒頭のFlashを作成した際に、これは「ピックの定理」を使えば、解けるんじゃないかと思いました^^;

台形にして考えれば、よかったのですね><;

投稿: Gascon | 2010年8月24日 (火) 00時46分

y=-(3/2)x+1004、x≧0、y≧0。今、(0,1004) (0,-1),(670,-1)を結ぶ直角三角形を考える。斜辺に含まれる格子点が(1005/3)+1=336個よりこの三角形に含まれる格子点の数は、[{(1005+1)(670+1)-336}/2]+336=337681個。よって求める格子点の個数は、x<0の格子点670+1個を引いて 337010個。通りすがりですが、最初にこの解法が浮かびました。

投稿: alkari | 2011年3月11日 (金) 05時37分

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