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2010年6月12日 (土)

■コマ大数学科183講:未来の東大生に挑戦

今回は、東大入学率日本一、数学オリンピックでも数多くのメダリストを輩出しているという、筑波大学付属駒場高校(筑駒)の入試問題に挑戦「たけしのコマ大数学科」

問題:1辺の長さが12cmの立方体の容器に11cmの深さまで水が入っています。この容器には、ふたがついていて回転しても水はこぼれないものとします。点Gを通り、4点A,E,G,Cを含む平面に垂直な直線を「l」とし、lを軸として容器を回転します。点Eが水面上に来るとき、水面の面積を求めなさい。
※筑波大学付属駒場高校入試問題

図(1)

lを軸として回転させるとき、右回りと左回りが考えられるが、中村亨センセから「今回は、向かって右回りで考えてほしい」との注釈がついた。

番組では、文科省が指定する「スーパーサイエンスハイスクール(SSH)」(平成21年度現在)と紹介されたけれど、平成22年度から5年間の指定校に「筑駒」は入っていない。平成21年度は全国で指定校は106校、平成22年度から指定校は125校に増えている。ま、そんなことはどーでもいい。

コマ大数学研究会の検証

「未来の東大生に挑戦~♪」とゆーわけで、やって来ました「筑駒数学研究会」。中学1年から高校2年までの約20名が在籍しているとのこと。漢字は得意だがカメラ慣れしていないという、漢字番長ことガンビーノ小林が先陣を切って乗り込むが、部員たちには無視される^^; そこへ筑駒OGの小橋りささんも登場。和気あいあいとなったところで、筑駒数学研究会の面々に今回の問題に挑戦してもらった。正解者が続出したが、突然、ダンカンが怒る「美しい数学っていうのは、汗をかかなきゃダメなんだよ!」

コマ大生の検証方法は、一辺が12cmの透明なアクリル板で作った立方体の容器に、水ではなく、歯形をとるときの「印象材」を使用して固めるというもの。番組ではお馴染み、ダンカンのお友達、歯科医のDrコバに協力してもらい検証開始。印象材は2~3分で固まってしまうため、失敗が許されない一発勝負。

図(2)

スタジオで、立方体の断面を計測して、11cm×13cm÷2、求めた答えは「71.5平方cm」

マス北野&ポヌさんの解法

マス北野は直感的に下の図のような形を思い浮かべたようだ。

図(3)

図(4)

1辺が12cmの立方体の容器に11cmまで水を入れたときは、空気の体積が12×12×1で144立方cm、容器を傾けてもこの空気の体積は変わらないから、144立方cm=立方体の上面の面積(144平方cm)×高さ(h)÷2となり、高さ(h)は、2cmと求まる。この空間をl軸の方向から眺めると、三平方の定理により、斜辺の長さ(ひし形の対角線のひとつ)を求めることができる。ひし形のもうひとつの対角線は12√2なので、ひし形の面積=対角線(2√73)×対角線(12√2)÷2=12√146

マス北野&ポヌさんの答え「12√146」平方cm

衛藤樹さん&伊藤理恵さんの解法

図(5)

立方体の容器を回転させたとき、AI=AJとなるので、図のように、xをおく。
体積=(1/2)*12*x*x*(1/3)=2*x^2=144
x^2=72
x=6√2
EJ^2=x^2+12^2
EJ=6√6
EH=6√5
△EJI=(1/2)*12*6√5=36√5

東大生の答え「36√5」平方cm

中村亨センセの「美しき数学の時間」

正解は、東大生チームの「36√5」平方cmだが、lを軸としてさらに回転させると、マス北野の形になり、「12√146」平方cmにもなる。

図(6)

上部の空間の体積は、12*12*1=12^2立方cm
対称性から上部の空間は、直角二等辺三角形を底面とする高さ12cmの三角錐になる。

図(7)

さらに回転させると……。

図(8)

上部の空間の体積は変わらないが、マス北野が考えたように「ひし形」になる。対角線HFより、左側に部分と右側の部分を重ねると……。

図(9)

二等辺三角形を底面とする、高さ2hの三角柱になる。

図(10)

爺が妄想するに、たぶん中村センセの「美しき数学の時間」では、さらに回転させると、別解があるよ……としたかったのだろうが、マス北野が直感で、その別解を解いてしまった……というところだろうか^^; 今回は、始めに中村センセから「lを軸に向かって右側に回転させてください」とあったので、東大生チームが正解。コマ大フィールズ賞を獲得した。

※たけしのコマ大数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2009年度全講義リスト
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト

コマ大数学科DVD-BOXガイド


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コメント

高校入試というだけあってこの問題は頭の体操になるような問題でした。このような難しい高級な数学の考えを使わない問題は有り難いです・・(僕にとっては)。。

投稿: 京都隠遁生活 | 2010年6月18日 (金) 02時18分

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