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2010年4月 1日 (木)

■コマ大数学科:2009年度全講義リスト

2009

●129講:距離
問題:5×5のマス目の格子点上に6個のコインをそれぞれ互いの距離がすべて異なるように置きなさい。

●130講:鍵
問題:4人兄弟が何個かずつの鍵を持ち、3人以上でないと、開かないようにするには、錠前は何個必要で、4人の兄弟は、鍵をどのように持てばいいか?
※出典:「数学パズル・20の解法」中村義作/著

●131講:春の数学祭り
第1問:左下の出発点から45度の角度で球を発射し、壁に当たると45度の角度で跳ね返る。球がポケットに入るまでに何回、跳ね返るか?

第2問:直角二等辺三角形OABの下に直角三角形ABCが接している。ACとBCの長さの合計が「8」 角ABCが 10°のとき、ふたつの三角形の面積の合計を求めよ。

●132講:カックロ
問題:表裏に0~9までの数字がひとつずつ書かれたカードが5枚ある(数字の重複はない)。すべて表の数を足すと「19」、左から3枚を裏返して、見えている数を合計すると「20」になった。同様に、裏裏表裏裏の場合は「35」、表表裏表裏の場合は「11」、表裏表裏表の場合は「31」になった。最初に見えていたカードの表にあった数を並び順に答えよ!
※問題提供:クイズ大陸「真説5枚の紙切れと数字」

●133講:ソ連の円周問題
問題:三角形ABCの外接する円周上を動く点Pがある。PからAB、ACにおろした垂線の足をM、Nとするとき、MN の長さが最大となるPの位置を作図せよ。

●134講:消えた数
問題:たろうくんは、1から順番に1、2、3、4、5……とある数までを黒板に書きました。じろうくんがその中の1個の数を消してしまいました。すると、残りの数の平均は(590/17)になりました。じろうくんが消した数はいくつですか?
※出典:2000年第9回 算数オリンピック トライアル問題

●135講:長文読解
問題:(※長文のため、一部を抜粋)赤色か青色の帽子をかぶっている妖精の村。百年に一度の青帽子の祭りが開催された。赤帽子の妖精はこの祭りに参加できないのだが、初日には青い帽子の妖精が、200人。赤い帽子の妖精が、200人参加していた。妖精たちは自分がかぶっている帽子の色はわからない。赤い帽子の妖精が祭りからいなくなるまで何日間かかるでしょうか?
※出典:クイズ大陸:No.Q51 小人の帽子

●136講:早稲田に挑戦
問題:約数の個数が28個ある、最小の自然数「n」を求めなさい。
※出典:早稲田大学、商学部の入試問題

●137講:ビル
問題:ある区画に25個のビルが正方形状に並んで建っています。下図は、真上から見たビルを表しています。

●138講:派閥
問題:5人の政治家がいて、いくつかの派閥があります。派閥とは1人以上の政治家が属する集団のことです。2つの派閥は、もし、その両方に属する政治家と、どちらにも属さない政治家が共に存在すれば、必ず、一方が他方を含むとします。派閥の個数の最大値を求めなさい。(ただし、5人全員からなる集団も派閥であるとします。)
※出典:2004年日本数学オリンピック予選問題

●139講:ズバリ聞くわよ
問題:ある数字を思い浮かべている人に質問をして数字を当てるゲーム。なるべく少ない回数でどんな数字でも当てられる質問は? ただし「その数字を教えてください」や「その数字から5を引くと何になりますか」など、直接答えを聞き出すような質問をしてはいけません。

●140講:そろばん
問題:「そろばん」を使って、1から138までの数を足すとき、そろばんの一の位の一番下の珠(青い珠)は、何回動くでしょうか?

●141講:原始ピタゴラス数
問題:三辺の長さが整数の直角三角形があります。三辺のうち、二辺の長さが素数であり、直角三角形の周囲の長さが 132のとき、三辺のそれぞれの長さを答えなさい。
≪参考≫
 ◎141講:原始ピタゴラス数(補習)
 ◎[Flash]ピタゴラ・ジュース・メーカー

●142講:マネー・クーツの定理
問題:直角三角形ABCがあり、その内部にある円を直角三角形ABCの少なくとも1つの辺に接するように移動させます。円を移動させた軌跡の面積が最大となるときの円の半径を求めなさい(円周率πは、3とする)。

●143講:一小刀問題
問題:上の図のように正方形の一部を欠いた形の紙を適当に折り、一度だけハサミを入れて切り、その断片をつなぎ合わせて、ひとつの正方形にしなさい。

●144講:明治に挑戦
問題:f(x)はxの3次式で、曲線f(x)は原点で直線y=(3/2)xに接し、x=3でx軸に接するとします。このとき、曲線y=f(x)とx軸とで囲まれる部分の面積を求めなさい。
※出典:明治大学入試問題(1965年)

●145講:可視領域
問題:広い場所に高さ5.5mの棒が垂直に立っています。遠くからこの棒に向かって秒速1mでまっすぐ進むとき、上から5mの赤い部分を見込む角度が30°以上であるように見えるのは何秒間でしょうか?
※ただし、目の高さは地面の位置(0m)とする。

●146講:立教に挑戦
問題:縦、横の長さがそれぞれ、1、2の紙がある。幅Xで縦に切り、2つの紙片を作り、それぞれを丸めて2つの円柱の側面を作る。ただし、縦、横どちらの側を底にするかは、円柱の体積が小さくなるように決めるものとする。この時、2つの円柱の体積の和の最小値と、その時のXの値を求めよ(ただし、のりしろは考えなくてよい)。
※出典:立教大学法学部入試問題(1996年)

●147講:正八面体
問題:正八面体を1つの面を下にして水平な台に置きます。この正八面体を真上から見た図を描きなさい。
※出典:東大入試問題(2008年)

●148講:ボヤイ・ゲルヴィンの定理
問題:図のような円に内接する五角形があり、以下の条件のとき、角BCDと角CDEの大きいほうの角度を求めなさい。

●149講:アポロニウスの円
問題:図のような3つの円すべてに接する円は何種類あるでしょうか?

●150講:ペンローズ・タイル
問題:1辺の長さが1の正m角形の各辺の外側に1辺の長さが1の正n角形を1つずつくっつけたとき、くっつけた正n角形の隣り合う2つが1辺を共有するようなm、nの組として考えられるものをすべて求めなさい。

●151講:円すい
問題:直径4cm、母線24cmの円すいのA地点から、円すいにひもをぐるぐる5周巻いて、Aに戻ってくるまでの最短距離を求めなさい。

●152講:祝150回記念
問題:円周上に150個の黒い点と1個の赤い点があります。これらの中から、一部または、全部の点を選んで直線で結び多角形を作るとき、赤い点を含む多角形と、黒い点だけで出来る多角形の個数の差を求めなさい。(※多角形は円周上の点を頂点とする凸多角形のみ考える)

●153講:サイコロ必勝法
問題:サイコロの目を交互に90度ずつ転がして、出る目の和が13になったら勝ちというゲームの必勝法を考えなさい(※13をオーバーしたら負け)。

●154講:ポリアの壺
問題:5個の白球と3個の赤球が入った壺から、1個ずつ球を取りだし、以下の条件のとき、4回目に白球が出る確率を求めなさい。
≪条件1≫取りだした球が白球ならば、その白球と新たにもう1個の白球を加え壺に戻す。
≪条件2≫取りだした球が赤球ならば、その赤球と新たにもう1個の赤球を加え壺に戻す。

●155講:交点
問題:立方体の箱に100本の輪ゴムをかけるとき、交点は最も多くて何個できるでしょうか? ただし、輪ゴムは立方体の辺と直角に交わり、向きが同じ輪ゴムは重ならないとします。

●156講:ファレイ数列
問題:ある線分の2等分点、3等分点、4等分点と順に新しい等分点にだけ印をつけていきます。15等分点も印をつけたとき、新たに増える印の数を答えなさい。

●157講:お見合い問題
問題:7人の男性と1人ずつ順番にお見合いをします。女性はお見合いの場で男性と交際するか、断るかを決めて下さい。いったん交際を決めたら、それ以後のお見合いは無くなります。また一度断った男性に後から交際を申し込むことは出来ません。

●158講:ダイアゴナル
問題:1辺の長さ1の正方形のタイル800枚を隙間なく並べて、縦25、横32の長方形を作ります。この長方形の対角線1本が通過するタイルの枚数を求めなさい。

●159講:トライアングル
問題:図のように重なっている上側の正三角形を回転させて、下側の正三角形とぴったり一致するような点を作図しなさい。

●160講:法政に挑戦
C160_01 ※出典:法政大学経済学部入試問題(1996年)

●161講:Doing Math in English Part2
問題:A hexagon with consecutive sides of lengths 2,2,7,7,11 and 11 is inscribed in a circle. Find the radius of the circle.

●162講:四目並べ
問題:縦6列、横6列の計36個の格子点上に、○(白石)で四目を作らせないようにするには、●(黒石)を最小で何個置けばよいでしょうか?

●163講:タワー
問題:互いに見る事の出来る、ABCD4つの塔がある。BからAまでの距離はBからC、およびCからDの距離に等しく、AからC、およびAからDまでの距離はDからBの距離に等しい。DはAの東に位置し、Cは少なくとも1つの塔よりは北に位置している。BはAから見て、どの方向に位置するか答えなさい。

●恋する数学ベストカップル決定戦
ROUND1:全10問(制限時間60秒)
ROUND2:ハチの数は何匹?(制限時間5分)
FINAL ROUND:50×50のマスの盤に直径49の円を描く。円の中心を盤の中心とするとき、円周は何個のマスを通るでしょうか?

●164講:ラストナンバー
問題:1から100までの数から適当に2つを選び、その数を足して1引いた数を戻すという作業を繰り返したとき、最後に残る数を答えなさい。

●165講:16マス
問題:4×4の16マスに区切られた紙を二人に渡し、それぞれが渡された紙のマス目を2つ塗りつぶす。二人の紙を表を上にして、どのように重ねても塗りつぶされたマス目がどれも重ならない確率を求めよ。2枚の紙は回転させても良いが、四隅は重ねるものとする。
※出典:大阪大学入試問題(1999年)
≪参考≫
 ◎165講(補習):仲間を探せ

●166講:オクタゴン
問題:1辺の長さが1の正八角形の周上を3点P,Q,Rが動くとき、△PQRの面積の最大値を求めよ。

●167講:北大に挑戦
問題:図のような碁盤の目状の道路があります。S地点を出発して道路上を東、または北に進んで、G地点に到達する経路を考えます。その経路のうち、A地点とB地点を共に通る経路は何通りあるでしょうか?
※出典:北海道大学入試問題(1999年)
≪参考≫
 ◎167講(補習):経路問題

●168講:北大に挑戦Part2
問題:図のような三角錐の展開図がある。AB=4, AC=3, BC=5, ∠ACD=90°で△ABEは正三角形である。このとき、三角錐の体積を求めよ。
※出典:北海道大学入試問題(2009年)

●169講:北大に挑戦Part3
問題:半径1の円に内接する正六角形がXY平面上にある。1つの辺ABがX軸に含まれている状態から始めて、図のようにX軸上を転がし、再び点AがX軸に含まれる状態まで続ける。点Aの描く軌跡の長さを求めなさい。

●170講:影Part2
問題:底面が半径1mの円で高さが1mの円柱と、底面の円の中心から2m離れたところに高さ2mの街灯がある。この街灯が地面に作る影の面積を求めなさい。

●171講:アフィン平面
問題:下の16個の点を1本の直線を折れ線にして結びなさい。ただし、5回しか折れてはいけません。

●172講:カレンダー
問題:タケシくんは、この3月に毎週1回ずつ合計5回デートします。デートの曜日は、月曜が1回、水曜が2回、土曜が 1回、日曜が1回です。タケシくんがデートする日付の数の和はいくつでしょうか?

●173講:期待値Part2
問題:10種類のくじが入った箱がある。10種類のくじ全てを手に入れるのに必要な期待値を求めなさい。
※ただし、くじの数は任意であり常にそれぞれの種類のくじを取り出す確率はどれも等しいとする。

●174講:星座
問題:午後6時30分。北の空に北極星Nと直角二等辺三角形になる星A、B、Cが図のように見えました。何時間か後に星AとBが同時に地平線に沈み、その後、星Cも沈みました。星Cが沈んだ時刻を求めなさい。


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コメント

はじめまして。このブログはよく拝見しています。

この改編期も、東海地方ではコマ大復活はありませんでした。

あなたのブログが頼りです。

これからも良質のブログをお願いします。

投稿: 名古屋人 | 2010年4月 2日 (金) 23時02分

このブログは時々拝見させて頂いております。
報告が事後処理で申し訳ありませんが、
私の HP からリンクを張らせて頂きましたので、
連絡かたがたメールいたしました。

投稿: 平井崇晴 | 2010年4月11日 (日) 10時59分

名古屋人さん、コメント&応援ありがとうございます。

平井崇晴さん、当ブログへのリンクありがとうございます。

ガスコン爺

投稿: Gascon | 2010年4月12日 (月) 00時04分

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