« ■[Flash]曼荼羅図の描き方 | トップページ | ■[Shade]正多面体(プラトン立体)の描き方 »

2010年4月26日 (月)

■コマ大数学科176講:プラトン立体

ガンビーノ小林が漢字検定準1級に合格。そこで問題「そそり立つ黒くて立派な図騰柱」さて、なんて読むの「たけしのコマ大数学科」

問題:図のような正12面体がある。点Aを1つの頂点とする立方体ができるように他の頂点を結ぶとき、立方体の各辺を正12面体の展開図に書きなさい。

図(1)

立方体の辺の数は12本。それを展開図に書きなさいということなので、立方体の各辺は、正12面体の面上にあるということだね。

まずは、コマ大数学研究会の挑戦。今回の検証方法は、針金で正五角形を12個作り、それを組み合わせて正12面体にする。小さいと作りにくいので、1辺を30cmとする。正五角形の内角は108度なので、分度器で測り正確に曲げていく。こーして出来た正五角形をビニールテープで巻いて組み立てる。正12面体の中の立方体は、頂点から色の違うテープを張って作成。

図(2)

こんなカンジの針金細工が完成。問題は、これをどう展開図にするかだが、なんと正12面体の各面をデジカメで撮影(面と同じ大きさの黒紙を用意し、それを後ろにあてる工夫をした)。プリントアウトした12枚の写真を切り抜き、貼り合わせて展開図にする。

コマ大数学研究科の答え
マス北野&ポヌさんの答え

図(3)

マス北野は、問題用紙の展開図に一応の答えの線を描いたあと、ハサミで展開図で切り取り、組み立てて答えを検証。間違いに気付き、それを修正して答えた。

小橋りささん&岡本麻希さんの答え

図(4)

東大生チームは、頭の中で展開図の正五角形を動かして、頂点A,Dを結ぶパターンを考えた。

竹内薫センセの「美しき数学の時間」

今回は、3チームとも正解。マス北野と東大生チームの答えは、鏡像になっており、正解は2パターンある。

図(5)

図のように正12面体から、立方体の一面を抜き出して考えると、イメージしやすい。「屋根」のような形をした立体が立方体の6面、全部にくっついた格好だ。

さて、お題の「プラトン立体」とは、正三角形、正方形、正5角形のそれぞれ、1種類だけを使い、立体を作ると、下図の5種類しかない。これを「プラトン立体」と呼ぶそうな。

図(6)

正多角形はたくさんあるが、これ以外は二面角が180度を超えてしまうようだ。たとえば、昔のサッカーボールは、正六角形と正五角形を組み合わせた形だったよね。正六角形1種類だけだと、うまくいかない。こちらは、アルキメデスの立体(半正多面体)と呼ぶみたいだ。

プラトンの「神聖幾何学」では、「火は正四面体、土は正六面体、空気は正八面体、水は正二十面体の微生物から成り、創造者は宇宙全体を正十二面体として考えた」とあるそーだが、なんのことかわからない^^; 竹内センセの話では、実際にウィルスは、正12面体や正20面体の形をしているそうだ。

※たけしのコマ大数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2009年度全講義リスト
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト

コマ大数学科DVD-BOXガイド


|

« ■[Flash]曼荼羅図の描き方 | トップページ | ■[Shade]正多面体(プラトン立体)の描き方 »

コメント

176講「プラトン立体」は面白いですね。
私は多面体模型を作って遊んでます。その動画をYouTubeにUPしています。
k036osaで検索して下さい。
「正十二面体・充塡パズル」「正多面体内接模型0〜6」

投稿: osamu | 2010年4月27日 (火) 18時56分

osamuさん(k036osaさん)コメントありがとうございます。

先日、テレビ(WBS:ワールド・ビジネス・サテライト)を見ていたら、アイファクトリーという会社が「金属の折り紙」を考案して、それが、けっこう反響を呼んでいる……というのを見ました。折り紙というよりも、展開図といった感じで、ステンレスの金属板をレーザーで切り抜き、それを組み立てると、人間の骸骨やら、恐竜やらを作ることができます。薄い金属(ステンレス)なので、ボールペンなどを利用すると、簡単に曲面も作ることができます。もちろん、エッジの部分は怪我をせぬよう、加工が施されています。

k036osaさんは、自作の紙のカードを使っていますが、金属で正12面体を作れれば、作成した多面体をオブジェとして机の上に置いても、いい感じになると思います。
一度、コンタクトをとってみたら、いかがですか?
商品化できるかも……^^;

http://www.tv-tokyo.co.jp/wbs/trend_tamago/post_825.html

投稿: Gascon | 2010年5月25日 (火) 20時34分

Gasconさん
コメントありがとうございます。

ご紹介していただいたサイト見ました。
面白いです。連絡を取ってみます。
面白いモノができら良いですね。

結果をご連絡(投稿)しますね!

投稿: k036osa | 2010年5月26日 (水) 14時33分

k036osaさん、良い結果と展開に期待しています。

番組サイトへのリンクだと、時間が経つと、消えちゃう可能性があるので、あらためて、「I-Factory」のサイトを紹介しておきます。

1枚のステンレスから作る「十二支」など、販売中の商品や製品を見たい人は、直接、I-Factoryのサイトを訪れたほうがよいかも……です。

I-Factory
http://www.ifactory.jp/index.htm

投稿: Gascon | 2010年5月26日 (水) 17時03分

Gasconさん
重ね重ね、ありがとうごさいます。

プックマークに登録しました。
長い目で見ていて下さい。
乞うご期待!ってことでよろしくお願いいたします。

投稿: k036osa | 2010年5月26日 (水) 17時14分

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)


コメントは記事投稿者が公開するまで表示されません。



トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.f.cocolog-nifty.com/t/trackback/99648/34391854

この記事へのトラックバック一覧です: ■コマ大数学科176講:プラトン立体:

« ■[Flash]曼荼羅図の描き方 | トップページ | ■[Shade]正多面体(プラトン立体)の描き方 »