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2010年3月21日 (日)

■コマ大数学科174講:星座

「たけしのコマ大数学科」も、4月から5年目に突入。放送時間も、月曜深夜に変更されるみたいだ。

問題:午後6時30分。北の空に北極星Nと直角二等辺三角形になる星A、B、Cが図のように見えました。何時間か後に星AとBが同時に地平線に沈み、その後、星Cも沈みました。星Cが沈んだ時刻を求めなさい。

※爺註:問題文では「図のように」とあるが、∠CBNは直角。BNは地平線と並行と考えてほしい。

コマ大数学研究会がやって来たのは、葛飾区の證願寺(しょうがんじ)。星座とお寺に何の関係が……と思いきや、寺の住職、春日了さんは、筋金入りの天文マニアでこのお寺には、総工費1億8000万円という立派なプラネタリウムがあるのだ。プラネタリウムの星空を眺め、コマ大生は北極星を見つけ、今回の問題と位置が合う星を決め、観測する。しかし、天球は1日に1回転(360度)なので、そのままの時間スピードで再現すると、見た目では移動しているかどうか見極めることが難しい。睡魔と闘いながら長丁場のロケ(?)となった。

コマ大生の答えは「23:30(午後11時30分)」

マス北野&ポヌさんの解法

174講(1)

マス北野&ポヌさんチームは、星A、Bが同時に地平線に沈んだときの図を描き、そこから星Cが地平線に沈むまでの角度を考えた。見た目は「30°」なのだが、それを証明しようと考えているうちに、星A、Bが地平線に沈んだ時刻を午後6時30分と勘違いしてしまったようだ。天球は24時間で360°なので、1時間で15°

マス北野&ポヌさんの答えは「午後8時30分」

じつは、星A、Bが地平線に沈むまでの3時間を足さなければならない。

東大生(小橋りささん&岡本麻希さん)の解法

174講(2)

星A、B、Cは直角二等辺三角形に並んでいるので、ベクトルで言う正規化を行うと、辺比は、1:1:√2になる。∠CBNが直角ならば、⊿CBNも直角二等辺三角形になる。A、Bが同時に地平線に沈んだとき、北極星の地平線からの距離は(√2/2)と求まる。星Cが地平線に沈むまで移動する軌跡は、北極星Nを中心として、半径CN(√2)の弧となり、そのとき、図のオレンジの部分の三角形は、2:1:√3の直角三角形になる。というわけで、午後6:30から進んだ角度は、45+30=75° 75÷(360/24)=5時間

東大生の答え「午後11時30分」

竹内薫センセの「美しき数学の時間」

174講(3)

解法としては、東大生チームと同じ。ポイントは、「√2:(√2/2):(√6/2)」の三角形が「2:1:√3」の直角三角形と気付くこと。これにより、星A、Bが地平線に沈んだ後、星Cが地平線に沈むまでの回転角は「30°」(2時間後)であることがわかる。

竹内センセの「ちょっといい話」は、宮澤賢治と星座との関わりについて。「銀河鉄道の夜」の日付を特定する話を聞いていて、どこかで聞いた話だな……と思ったら、竹内センセの著書「天才の時間」で読んだことを思い出した^^;

ガスコン爺のどーでもいい話

∠CBNが直角でないとどーなるか。たとえば、⊿CBNが正三角形の場合だ。

星A、Bが同時に地平線に沈むという条件で、北極星Nの位置が定まるが、星Cが地平線に沈む前に、星Bが地平線から顔を出す。

■たけしのコマ大数学科 第6期 DVD-BOX

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト


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