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2010年2月28日 (日)

■コマ大数学科171講:アフィン平面

今回から始まった新コーナー、世界の数学ニュース。「今年1月、ケンブリッジ大学に数学の才能が認められ、237年ぶりに14歳の少年が入学を許可された」とのこと。爺は50歳を超えて「たけしのコマ大数学科」。

問題
:下の16個の点を1本の直線を折れ線にして結びなさい。ただし、5回しか折れてはいけません。

よーするに、一筆書きの要領ですべての黒丸点を通過できればよい。スタート点を決め、画面上をクリックしていくと、折れ線を描く。方向を転換することができるのは5回まで。「グリッドに吸着」のチェックを外すと、グリッド(格子点)以外の場所で折れ曲がることも可能。

コマ大数学研究会は、寒風吹きさらすスタジオの屋上で、問題の巨大な黒丸点を赤い反物(?)で直線になるよう、結んでいく作戦(とりあえず、問題を巨大化して検証するというのが、いつものパターンだ)。1時間30分の検証を終え、一応の答えを見つけた。

コマ大生の解答

171講(1)

マス北野は、開始早々に「これでいいんじゃないの」と解いてしまった。

マス北野の解答

171講(2)

東大生チーム(小橋りささん&岡本麻希さん)は、苦戦しながらも答えを見つける。

東大生チームの解答

171講(3)

いずれの解答も、黒丸点を二度通過している箇所がある。中村亨センセによると、黒丸点で直線が交差しない(一度しか通過しない)解法があるという。それを見つけたチームには、ポイントを加算するということで……。

ここで、なんとコマ大生(ダンカン)がスタジオでの検証で、別の解答を見つけた。

171講(4)

シンメトリーで美しい解答だ。しかも、どの黒丸点も一度しか通過していない。

というわけで、コマ大生が「コマ大フィールズ賞」を獲得。年に一度か二度しか起きない奇蹟のような快挙を成し遂げた。おめでとー♪コマ大生。

中村亨センセの「美しき数学の時間」

一同、驚愕の正解はこちら。

正解(1)は、向きが違うだけで、コマ大生の解答と同じ。爺は、最初、記事冒頭の「Flash」で直線を引くとき、グリッドに吸着するように作ったのだけれど、これでは、正解の(3)と(5)は作れないことが判明><;(格子点以外のところで折れ曲がっている;;)そこで「グリッドに吸着」を外すチェックボックスを作らざるを得なくなったのら。

中村センセは、「もしかしたら、上に挙げた5つの解答以外にも、あるかもしれない。見つけた人は、番組まで知らせてほしい」と言っていた。がんばって、6番目、7番目の解答を見つけよう^^;

で、今回の演題は「アフィン平面」なんだけど……。「アフィン平面」とは、ユークリッド空間から、座標やら、長さ、角度といった概念を取り除いたもの……らしい。しかし、爺には、なんのことかさっぱりわからない><; たぶん、そもそも「長さ」ってなに? 「角度」ってなに? そういった概念を取り除き、すごく単純化することで、見えてくる「そもそも論」的な世界があるんだと思う(根拠なし;;)。

いつの日か、「あのとき、中村センセが言いたかったのは、こーゆーことか!」と、爺にも理解できることを願って、板書をメモして残しておこう(爺はすぐに忘れちゃうからね;;)。

171講(5)

171講(6)

ちょっと、ひと言。上図の線を色分けしているのは、爺によるもので意味はない(たんに線がごちゃごちゃしているので見やすくするため)。図の上2つは、誰が見ても直線に見えるよね。でも、中村センセによると、下の3つの折れ曲がっている線も「アフィン平面」で考えると、直線なんだそーだ。座標とか、長さとか、それに角度という概念もないわけだからね。

なにもわからない爺からすると「座標も長さも角度もないんだから、一筆書きでどんな書き方をしたって、一本の線で結べるんじゃないの?」と思ってしまうが、そーではないらしい。なんとなく図を眺めていると(0と1)、(zと1+z)の2つグループに分けると、鏡像になっている(これがアフィン平面の平行ということ??)

で、もうひとつ、爺がわからないのは、中村センセの「今回の問題は、アフィン平面で考えるとうまくいかない」というところ。「アフィン平面」で考えると、うまくいきますよという話なら、その仕組みはわからないものの、だまされやすい爺は「なるほど~♪」となるかもしれないが、うまくいかないのなら、なぜシンプルと言いつつ難解な「アフィン平面」を持ち出してきたの??

ますます、わからなくなった><;

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト


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コメント

解答者から出た形は全てシンメトリーで、しかも6本の直線で始点が終点に繋がる一筆書きですね。模範解答の2~5は7本目の直線を加えれば環が繋がる。前者のほうが発想し易いのかな?

一番下の行をx軸、一番左の列をy軸として、切片0~3の直線とその他2本の直線を5個の交点で繋げればと考えて「新発見」を狙っていますが、意外とこれが難しいですね。

アフィン平面は何のことやら???

投稿: アキレ・サンタ | 2010年2月28日 (日) 22時13分

お久しぶりの書き込みです。

この回のテーマである「アフィン平面」の解説を私のホームページに載せました(アドレスの頭に h を付けてください)

ttp://www.geocities.jp/tfujisaki2006/sugaku/sansu.html

内容は多いですが、ゆっくりと作っていましたので、今ごろ全部掲載を終えました。
どこまで理解できるか分かりませんが、勇気があれば(?)見てください。

投稿: 藤崎竜也 | 2010年9月 2日 (木) 21時20分

藤崎さま、コメントありがとうございます。

勇気を奮い起してホームページを拝見しましたが、酔っ払った爺の頭では、やはり、理解できませんでした;;

先日の「高校生クイズ」の準決勝で「ハッブル定数」を用いた問題が出題されましたが、タレントの勝俣州和が「ハッブルってなんですか?ワッフルなら知ってますけど…」と、番組が求めている一般視聴者の代表という立場でコメントしていました。たぶん、勝俣に「アフィン平面」とはなにかを尋ねたら「アフィンってなんですか?マフィンなら食べてますけど…」と同じように答えるような気がします^^;

投稿: Gascon | 2010年9月 6日 (月) 21時55分

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