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2009年12月24日 (木)

■コマ大数学科163講:タワー

昔、なにかの番組で、無重力の宇宙に長期間滞在したときの筋肉の衰えや、骨密度の変化の実験として、何日間もベッドで横たわるだけの生活をする実験を見たが、爺のひきこもり生活はまさにそれだ^^; 先日、部屋の大掃除をしたのだが、それだけで、筋肉痛に悩まされタワー「たけしのコマ大数学科」

問題:互いに見る事の出来る、ABCD4つの塔がある。BからAまでの距離はBからC、およびCからDの距離に等しく、AからC、およびAからDまでの距離はDからBの距離に等しい。DはAの東に位置し、Cは少なくとも1つの塔よりは北に位置している。BはAから見て、どの方向に位置するか答えなさい。

(※上のFlashは、「おばけ煙突」を模したもので、問題とはカンケーない^^;)

問題文を整理すると、よーするに、
A,B,C,Dの4つの塔がある。
D塔はA塔の東に位置する。
C塔は4塔の中で一番南ではない。
それぞれの塔の距離が、
AC=AD=DB、かつ、
AB=BC=CDのとき、
A塔から見ると、B塔は、
どの方向にあるか。
(※角度まで答えることができればベスト)

 

今回のコマ大数学研究会の検証の場は、オフだと聞かされていた「お宮」の築36年の自宅(リフォーム済み)。アポなしで、お宮のマイホームの一間を借りて、クリスマスツリーと、飾り付けに使うモール(各ツリーの距離を測るのに使用)で、検証を試みた。

コマ大生の答え

163講(図1)

試行錯誤の上に、条件を満たす答えを出した。

マス北野&ポヌさんの答え

163講(図2)

いくつもの円が描かれ、よくわからなかったが、答えは「南東」。しかし、これでは「Cは少なくとも1つの塔よりは北に位置している」という条件を満たしていないような……。

東大生の答え

163講(図3)

木村美紀、山田茜さんの東大生チームは、B塔はDを中心とした半径AD上の円周上にあり、C塔はAを中心とした半径AD上の円周上にあることから、上のような図を描いた。竹内薫センセから、「正確な角度まで求められればベスト」と言うサジェスチョンを得て、未知数「X」と「Y」を置き、角度を求めようとしたが、制限時間内では、式を立てることができず、解くことができなかった(※Bから線分ACに対して引いた垂線は、角度を求めようとしたときの補助線だと思われる)。

竹内薫センセの「美しき数学の時間」

今回の問題のポイントは、解が2通りあるということ(往々にして、ひとつ解が求まると、別の可能性を見落としがち)。それと、角度を求める際に、未知数「θ」を置き、三角形の「合同」や「相似」を利用すると、5θが内角の和(180度)になることを発見できるかどうか。東大生のように、未知数が2個ある、方程式で解く必要がなかったことだね。

今回の数学トリビア(ちょっといい話)は、昭和30年代に存在した、千住火力発電所の「お化け煙突」の話。東大生は知らなかったようだが、マス北野にとっては、地元の足立区。12月27日(午後5時~9時)まで「光のおばけ煙突」というイベントが開催されているようだ。

≪参考≫
千住火力発電所(Wikipedia)

夜空に輝くモニュメント「光のおばけ煙突」

たけしのコマ大数学科 第5期 DVD-BOX(発売中)

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ^^;

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト


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コメント

件の理由でこの条件では解いていませんが、解説の際に、これは正五角形の頂点が一つ欠けた形だと気付きました。

それにしても解が二つあるとは・・・

投稿: アキレ・サンタ | 2009年12月24日 (木) 20時03分

こんにちは。N.G.です。

今回の問題ですが、原文は
「互いに見ることの出来るABCD4つの塔がある。
BからAまでの距離はBからCおよびDの距離に等しく
AからCおよびDまでの距離はDからBの距離に等しい。
DはAの東に位置しCは少なくとも1つの塔よりは北に位置している。
BはAから見て どの方向に位置するか答えなさい。 」
となっていました。

ここから、自分は
BA=BC=BD
AC=AD=BD
すなわち
BA=BC=BD=AC=AD
となり、A,B,C,D は立体的に正四面体の頂点に位置していると考えました。
「BからCおよびDの距離」
が、BCとCDの距離を意味し、
「AからCおよびDまでの距離」
がACとADの距離を意味するのは不自然だと思います。

投稿: N.G. | 2009年12月25日 (金) 07時04分

ガスコン爺です。

番組を漫然と見ていたのですが、最初、まったく問題文の意味がわからないと言うよりも、マス北野や東大生は、この問題文から、どーして、あのような解釈ができたのか不思議でなりませんでした。

視聴者への問題提示と、実際に使われた問題が違うことは過去にもありましたが、録画ビデオで確認すると、マス北野や東大生に配られた問題文は、ちゃんと「BからCおよびCからDの距離」となっていました。

どーやら、問題文をフリップにする際のミスみたいですね。私自身、凡ミスをたくさんしでかすので、他人のことを、とやかく言えませんが、ことが問題文だけにね><;

投稿: Gascon | 2009年12月26日 (土) 03時12分

またまた、ガスコン爺です。

重箱の隅をつつくようなことなんですけれども、竹内センセの解説でホワイトボードにAとDを中心とした、半径ADの円を描き、BとCがその円周上にあるという説明のとき、Dを中心とした円の円周上に「B」とすべきところが、「D」となっていました><; 誰も指摘していないようなので、書いてみました^^; で、各点を線で結ぶときは、ちゃんと「B」になっていたので、解説しているときに、たぶん間違いに気付き、書き直したのだと思います。録画した人はチェックしてみてね(そんなところは、チェックしなくてよい^^;)

投稿: Gascon | 2009年12月26日 (土) 03時43分

 お久しぶりです。福岡では新年1回目の放送がこの「タワー」の問題でした。

 問題を見て解いたところ、私もN.Gさんと同様の位置関係になりました。「BからCおよびDの距離」を「BC=CD」でなく「BC=BD」と解釈しました。確かにそのように読み取れないことはないですが…

 数学の問題を文章で表すのは難しいのでしょうか?

投稿: 藤崎竜也 | 2010年1月13日 (水) 09時43分

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