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2009年10月31日 (土)

■コマ大数学科156講:ファレイ数列

 ♪好きなんだけど~(中略)星の~フラメンコ~♪ 「ファ・レイ!」とゆーわけで、戸部洋子アナの投げやりな「フリ」を真似てみた「たけしのコマ大数学科」

問題:ある線分の2等分点、3等分点、4等分点と順に新しい等分点にだけ印をつけていきます。15等分点も印をつけたとき、新たに増える印の数を答えなさい。

上のFlashでは、等分点の重なりはチェックしていないよ。重なりをチェックすると、考えるまでもなく、答えがわかっちゃうからね。

 コマ大数学研究会は、やはり、今回も蒲田ロケ。毎年、蒲田商店街で行われていた「ハロウィン仮装大会」は、新型インフルエンザの流行で中止になり、コマ大生の検証も、盛り上がらない結果となった。今回の検証は、発砲スチロールのブロックを一直線に並べ、等分点を測りつつ、ハロウィングッツを付けた串を等分点に刺していくもの。問題は、15等分点までなので、地味に検証していけば、答えは出る。

 コマ大生の答え「8」個。

 マス北野は、分割点には、両端は含まれないから、ちょうど植木算の逆で、n分割すると、分割点は(n-1)になることを確認。

マス北野の解答

 で、15の分割点は14個。そのうち、約分できる分割点は重なるので、15を因数分解して、15=3×5、表の3分割、5分割でできる分割点の個数を除く。つまり、14-(2+4)=8

 マス北野の答え「8」個

 東大生チームは木村美紀、山田茜さん。問題を見るなり、既約分数(分母、分子がそれ以上約分できない分数)を求めればいいということで、すぐに解いてしまった。これまでの最速タイム、もっとも簡単な問題だったという。

東大生の解答

 東大生の答え「8」個

 今回は、3チームとも正解。解答がもっとも速かった東大生チームがコマ大フィールズ賞を獲得した。

 新たな等分点の印を置くごとに線をズラした図を描くと、等分点がキレイに並ぶ。すでに等分点の印が置かれた(X座標が同じ)印を消すと、新たに置く等分点の数がわかる。印のあるなしを、ランプの点滅のように考えると、なんとなく法則があるように見て取れる。

中村亨センセの「美しき数学の時間」

美しき数学の時間(1)

 東大生の考えたように、約分できる等分点は、それ以前に登場しているので、等分点が重なり、新たな印をつける必要がない。当然と言えば当然だが、2、3、5、7は、素数なので、自分自身と「1」でしか割り切ることができないので、重なる印(約数)がない。

 新たに増える等分点(重ならない印)の個数を求める関数を「φ()」として、この関数に等分数を入れていく(※記号φは、ファイと読む)。

美しき数学の時間(2)

 またまた出ました、オイラー先生。整数論を学ぶときには、とても重要な関数式だとか。

 で、今回の講義題目「ファレイ数列」とは、なんぞや。ファレイ数列は、たとえば、6等分の場合は、2等分~6等分までに出てきた等分点を小さい順に並べたもの。

美しき数学の時間(3)

 この「ファレイ数列」を考えたのは、数学者ではなく、イギリスの地質学者、ジョン・ファレイ(1766~1826年)とのこと。本業の地質学では歴史に名を残すほどの業績はなかったようだけれど、こうして自身の名がついた数列が残されているわけね。ファレイの論文が発表されたのは、1816 年の「フィロソフィカル・マガジン」で、数学者のコーシーが証明をし、ファレイの功績としたけれど、じつは、1802年に数学者、C・ハロスによって証明されていたそーな。

 「ファレイ数列」には、おもしろい性質があって、隣り合う等分点の分母と分子をたすき掛けのように掛け合わせて引くと、すべて「1」になるとのこと。確かめてみよう。

 さらに「ファレイ数列」のおもしろい性質、その(2)は、3つ並んだ等分点の、真ん中の分数は、その左右にある、分母どうし、分子どうしを足し合わせたものになるというもの。

 これって、分数の足し算で、良い子は、絶対にやってはいけない方法だけれど、酔い子、いや、酔い爺には、とっても、おもしろい!

 中村亨センセの講義に爺は大拍手。問題は簡単。でも、その背後に数学の奥深さとゆーか、さらに、先に証明していたのに、「ハロス数列」と名を残せなかった、数学者ハロスってどんな人だったの……と、妄想が膨らんでくるんだよね。 爺は、こんな講義をもっと、もっと受けたい^^;

※追記(11月11日):ファレイ数列に(5/6)が抜け落ちていたのを修正(※コメント参照)

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ^^;

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト


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コメント

シャレイ数列の講義面白かったです。
そして、等分点が増える毎の点の配置の線分を
縦にならべた図形も、幾何学的で魅力ある図形
だと感じます。
こういう図形の模様が天井にあったら、寝転ん
で上を向いたままぼーっとした時間がかなり過
ぎてしまいそう。

投稿: す | 2009年11月 9日 (月) 09時59分

久しぶりに書き込みします。

 今回の「ファレイ数列」は前回の予告のは思い出せなかったのですが、問題を見てどんな数列なのかを思い出しました。

 Flash で各等分点を縦に並べた図はきれいです。理屈としては理解できますが、実際に見ると思った以上にきれいでした。

 最後に一つ。上の説明で出てくる n=6 のファレイ数列で「5/6」が入っていません。しかしこれでも、2数間、3数間の性質が崩れないのがこの数列の面白いところです。

投稿: 藤崎竜也 | 2009年11月11日 (水) 08時50分

コメントありがとうございます。

藤崎さん、間違いの指摘ありがとうございます。

まったく気付いていませんでした><;
(5/6)が抜け落ちたとき、計算が成り立たなければ、すぐに気付いたんでしょうけれど……。すっかり安心していました;;

記事中の画像やFlashを訂正しておきます。

投稿: Gascon | 2009年11月11日 (水) 10時45分

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