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2009年10月 4日 (日)

■コマ大数学科153講:サイコロ必勝法

 秋と言えば、読書の秋、食欲の秋、アンジェラ・アキ…オータム(寒む)文字に起こすと、コマ大生の面白さが伝わらない「たけしのコマ大数学科」

問題:サイコロの目を交互に90度ずつ転がして、出る目の和が13になったら勝ちというゲームの必勝法を考えなさい(※13をオーバーしたら負け)。

【遊び方】「先手」を選ぶ場合は、あらかじめ、上下左右の小さなサイコロをクリックして、大きなサイコロの目を決めてから「先手」ボタンを押してね。

 サイコロと言えば、やって来ました、川崎ダイス! とゆーわけで、コマ大数学研究会は、川崎大師を訪れ、商店街の人たちと対戦して「必勝法」を見つける作戦。川崎大師の御利益か、サイコロの神が降臨。なにやら必勝法をつかんだ様子。

 マス北野の答えは、先手が「5」か「6」を出したときは、後手必勝。最後に、足して13になる数を「上」か「下」に残す。つまり、サイコロを90度ずつ回転させるので、自分の出した面にある数と、その対面にある数を相手に使えないようにすることがポイント。

マス北野の解答(1)

先手が「5」のとき、後手が「4」を出すと、13-(5+4)で残りは「4」だが、先手は「4」を使えないので、「13」にすることができない。

マス北野の解答(2)

先手が「6」のときは、「2」を出して、13-(6+2)で残りを「5」にする。「2」の対面は「5」なので、相手は「5」を使って「13」にすることができない。

 しかし、マス北野の伝でいくと、「1~4」は、先手必勝(?)になるということか。

 今回は、答えに自信のあるチームから竹内センセと対戦した。マス北野は、たまたま(?)第1手に「4」を出し、勝利した(※展開は、コマ大生と同じなので、そちらを参照)。

 木村美紀と山田茜さんの東大生チームの答えは「出したあと、和が6になればいい→あと+7になる」というものだが、これだけだと、イマイチよくわからない。

東大生の解答

交互に6手目まで進んだところで、残りは「1」、直前に竹内センセが「1」を使っているので、東大生は「1」を使うことができず、他のどんな数を選んでも「13」をオーバーしてしまう。この「バースト」を竹内センセが「ブタ」と呼んだことから、ガダルカナル・タカは「東大生はブタ」と大喜び^^;

 コマ大生の答えは「先手必勝で『4』」。竹内センセと対戦してみごと勝利を収めた。

コマ大生の解答

先手が「4」を選ぶと、後手がどのような手でこようとも、必ず勝つことができる。コマ大生は、今回、番組オープニングのコント(?)も冴えていたし、ひさしぶりに「コマ大フィールズ賞」を獲得した。

竹内薫センセの「美しき数学の時間」

 さて、このゲームの目的は、サイコロの目の合計を「13」にすることだが、上にある面の数と、その裏に面にある数は使えない。作り出すことのできる数を表にすると以下のようになる。

美しき数学の時間

 竹内センセは「相手が1~6のどの数字を出しても作ることのできる数は『9』が多いんですよ」と説明していた。そして、この「9」という数字が、このゲームのポイントとし「13=9×1+4」と分解できることを説明。

 つまり、先手が「4」を取ってしまえば、残りは「9」。残りが「9」の状態で、相手が「3」ならば「6」を取って「9」になる。相手は「4」は使えないが、もしも「4」ならば「5」を取れば「9」、「5」ならば「4」を取れば「9」、「6」ならば「3」を取って「9」にできる。

 では、同じく、残り「9」の状態で、相手が「1」を取ったら、どーするか。その場合は「4」を取ればいい。9-(1+4)=4だが、こちらが「4」を取っているので、相手は「4」を取ることができない。以後の展開は、
1・4・2・1(相手をバーストに追い込む)
1・4・1・3(合計13で勝利)

 相手が「2」を選んだ場合も同様で、自分は「4」を取る。9-(2+4)=3だが、サイコロの「4」の目の裏側は「3」。相手は「3」を取ることができない。
2・4・2・1
2・4・1・2
という展開になる。

 ところで、爺が竹内センセの解説に釈然としない気分になったのは、「相手が1~6のどの数字を出しても作ることのできる数は『9』が多いんですよ」という部分だ。相手が「1~6」までのどれかの数を選んだとき、作り出せる数は「8」だって同じ数だけある。13=8×1+5と分解することもできる。

 なぜ「9」という数が特別なのか、限られた時間内で解説しなければならないので、あえて触れなかったのだと思うが、これは「九去法」なのではないだろうか。

 「九去法」とは、電卓やパソコンがない時代に使われた検算法のこと。たとえば、以下の計算式が正しいかどうかを確かめよ。
1234×5678=7006652
爺は2桁の掛け算にも筆算するか、電卓やパソコンを使わなければ答えることができないが、まず、左辺の部分を
1+2+3+4=10 10を分解して1+0=1
5+6+7+8=26 26を分解して2+6=8とする。
左辺は1×8で「8」だ。

次に右辺
7+0+0+6+6+5+2=26 26を分解して2+8=8

左辺(8)=右辺(8)なので、この計算式は概ね正しい。
これが「九去法」。

どーゆーことかというと、

九去法

 上の図は、「エクセル」で、それぞれの数を「9」で割った「余り」を表示したもの。

「九去法」とゆーのは、ある意味、9の倍数を取り去って考えちゃいましょうという方法なのら。

 今回のサイコロゲームの場合「13」にすることが目標なので、「1+3」で答えは「4」で先手必勝なのだ。つまり「=MOD(13,9)」(※数が小さいので、13-9としても「4」になる)。

 竹内センセが「残り『9』にすれば、このゲームは勝てる。べつに「13」じゃなくても、残り『9』にすれば勝てる」と言ったのは、「九去法」を念頭に置いていたと爺は考える。当然、サイコロの目の和を「31」にするようなルールでも、「3+1」で「4」(9×3+4)ということで、先手「4」で必勝となるはずだ。

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ^^;

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト


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コメント

こんばんは いつもアップご苦労様です
m(_ _)m

福岡ではこの頃、番組改編やらなんかで
いつの間にか火曜日の深夜に移動していて、
この会はどうやら見逃してしまった気がしています(><)

さて、「9」の理由なんですが・・・。
ちょっとこういう風には出来ないかなぁ?と
考えてみました。

「1~8では必ず先手必勝」
証明する必要はないと思いますが、
7の時は 先手:偶数 で後手:手無し
 先:2 後:5は出せません
 先:4 後:3が出せない
 先:6 後:1が出せない

「奇数の時は後手が勝つ手がありますね!
 先:1 後:3 で先:手無し
 先:3 後:2 で同上
 先:5 後:1 で同上」
奇数を出さなきゃ好いわけですから、先手必勝でしょう

8の時は 先手:4 で後手やはり手無し
 (これ以外では後手勝ち!)

で、「9」です。
後手必勝になりませんかねぇ?
先:1 後:4 先:手無し
先:2 後:3 先:手無し
先:3 後:6勝ち
先:4 後:5勝ち
先:5 後:4勝ち
先:6 後:3勝ち
 間違っていたら訂正願います^^;

なので、「9」+1~6なら、先手必勝?
10なら 先:1で残り9
11なら 先:2で同上
~~
15なら 先:6で同上

16は後手必勝になりそうなのですが・・。
先:1 後:残り15で6が出せない
先:2 後:残り14で5が出せない
以下略
先:6 後:残り10で1は出せませんし、
    後:2 残り8 先:4で先勝ち
    後:3 残り7 先:偶数で先勝ち
どうも先勝ちですね・・(?)
 #自信がないです

結局、16=9+7なので「7」が先手勝ちで!
偶数出しておけば勝ち!?!?
 #実際には何でも良さそうですが。

17=9+8なので、「8」先手必勝で
先:4出して勝ちでしょうかねぇ??
 残り13に対して、4で勝ちですが
 後手は4がNGなので。

18=9×2ですよね。
ここがまた後手必勝になるんじゃないかなぁ?

先:1 残り17 後:4 残り13
先:4が出せず 後手勝ち
~~
先:6 残り12 後:3 残り9
 後手必勝なのでそのまま後手勝ち。
う~ん、量が多くなるので書きませんが
どうも先手必敗だと思います。

9の倍数で後手必勝になるということなんでしょうね。

自信はないですが、9去法の根拠?かな?
長々失礼しました。m(_ _)m

投稿: さきもり | 2009年10月30日 (金) 04時25分

さきもりさん、コメント&フォローありがとうございます。

自分の書いた記事を読み直してみたら、なぜ、9が特別なのか、なぜ、「九去法」なのか、爺もその根拠を書いていませんでした><;

おっしゃるとおり、1~8までの数を作るときの主導権は、先手にあります。ところが、9のときは、主導権が先手、後手で逆転します。だから、先手が勝つ(先手で終わる)ためには、残り9になるようにすればいいんですね。

また、ある数(ルールで定めた数)を「9」で割ったときの商が偶数のときは、今度は、残り「9」にする権利は後手に移ると思います。

投稿: Gascon | 2009年11月11日 (水) 10時43分

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