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2009年9月26日 (土)

■コマ大数学科152講:祝150回記念

「たけしのコマ大数学科」も、記念すべき150回(特番を除く)を迎えた。思えば、このブログも番組の放送開始とともにスタートし、3年半も続いたことになる。

問題:円周上に150個の黒い点と1個の赤い点があります。これらの中から、一部または、全部の点を選んで直線で結び多角形を作るとき、赤い点を含む多角形と、黒い点だけで出来る多角形の個数の差を求めなさい。(※多角形は円周上の点を頂点とする凸多角形のみ考える)

 こーゆー問題は、少ない数で考え、なんらかの法則を見つけ出すことが重要。そこで、紙と鉛筆の代わりに、上のFlashを用意した。黒い点の数を決め、ふたつの点をクリックすると、その間に直線を引くことができる。

 コマ大数学研究会は、お宮の松が直径5メートル程の地球を模した円の周上にある、150+1個の点を走って直線で結び、多角形を作る「アースマラソン」作戦(?)。某局の「愛は地球を救う」の24時間マラソンのパロディなのだが、赤い点から出発し、150個の中から任意の点を結んで出来る多角形の数は、「エクセル」で計算してみると「1.4×10^45」(1阿僧祇4000恒河沙)通りほどある。おおよその走る距離を計算してみようかと思ったが、バカバカしいのでやめた^^;

 …というわけで、時間通りにスタジオのゴールにたどり着いた、お宮の松の答えは「わかりません」とギブアップ。

 マス北野は、黒い点だけで作ることができる多角形の数と、それに赤い点を加えた多角形の数は同じと考えたが、そこから先を考えることができなかった。今回は、150回記念で、解答も150に関連するのではないかという思いこみで、無事151回目を迎えられるようにと、答えは「151」。

 小橋りささんと、岡本麻希さんの東大生チームは、少ない数から考えるという基本に忠実に考えた。赤い点は1個と決まっているので固定。その状態から、黒い点を1つずつ増やしたとき、赤い点を含む場合と、赤い点を含まない場合の数の変化を表にした。東大生の答えは「11175」個。

東大生の解答

 「エクセル」では、「=COMBIN(5,2)」のようにすればよい。表にすると、黒い点だけで作ることができる多角形の数と、赤い点を含めた多角形の数の差が、一目でわかる。

エクセル(COMBIN)

中村亨センセの「美しき数学の時間」

美しき数学の時間

 非常にわかりやすい中村センセの解説だった。とゆーわけで、正解は「11175」個で、東大生チームがコマ大フィールズ賞を獲得した。

 ところで、番組を見た人の中には、中村センセの板書きの右半分(隠されていた部分)に何が書かれていたか、気になった人もいるかもしれない。番組ではカットされていたからね。

 ホワイトボードを回転させたとき、ちらっと見えた画像を見ると、一般に、黒い点だけで作ることが可能な多角形の数を(n)としたとき、赤い点を含む多角形の数は(n+1)角形と1対1で対応するんだけれど、この論法がいつも通用するとは限らないとゆー話をしたと思われる。たとえば、(n)をもっともっと大きくして、「無限」にしたときだ。(n)をすべての自然数とすると、(n+1)もすべての自然数になる。赤い点を含む多角形のほうが、○○個多いなんて言えない、だって無限だからね。つまり、そーゆーことを言えるのは、黒い点が有限個の場合だ。

 しかし「無限=無限+1」は等しいのだろうか。同じ「無限」でも、その無限の濃さが違うわけね。そのへんの話から、「リーマン予想」や、「ゼータ関数」のちょっといい話につながったんだと思う。う~む、深夜の数学バラエティとしては、いたしかたないが、もう少し、じっくり聞きたい話であった><;

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ^^;

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト


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コメント

3年半のブログ再録、いやはや頭の下がる重いです。お蔭様で、コマ大を何倍も楽しめます。感謝、感謝。

今回は中村先生と同じ解法で秒殺!と思ったのですが・・・・・・・・・・・
赤も含めて点が150個と勘違いし、正答に至らず!! 無念。

投稿: アキレ・サンタ | 2009年9月27日 (日) 00時43分

こんにちは。
恥ずかしながら録画ミス+熟睡してしまい、コチラの記事を参考にさせていただきました。
頼りになります。ありがとうございます。

投稿: シャブリ | 2009年9月27日 (日) 14時27分

今回も、意外と早く答えまでたどり着けました。
コマ大の解法は無謀でしたね。
番組150回記念ということでブログの方も150回おめでとうございます。
これからもよろしくお願いします。

投稿: す | 2009年9月28日 (月) 09時25分

>非常にわかりやすい中村センセの解説だった。とゆーわけで、正解は「11157」個で、東大生チームがコマ大フィールズ賞を獲得した。

正解の数値が「11157」個になっています。

投稿: 万打無 | 2009年10月 2日 (金) 18時49分

みなさん、コメントありがとうございます。

万打無さん、間違いの指摘ありがとうございます。
記事を修正しておきます><;

投稿: Gascon | 2009年10月 3日 (土) 01時11分

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受信: 2009年9月27日 (日) 14時29分

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