« ■高校生クイズ:ピラミッドの石の数・太陽の寿命計算 | トップページ | ■コマ大数学科152講:祝150回記念 »

2009年9月19日 (土)

■コマ大数学科151講:円すい

 政権交代が行われ、鳩山新内閣が誕生した。鳩山由紀夫の個人資産は89億円というから、貧乏な爺から見れば、涎垂の的だ><; その「えんすい」じゃない「たけしのコマ大数学科」

問題:直径4cm、母線24cmの円すいのA地点から、円すいにひもをぐるぐる5周巻いて、Aに戻ってくるまでの最短距離を求めなさい。

コマ大数学科151講・問題図

 図の円錐の寸法は、じつにいい加減。直径4cmで、母線が24cmとゆーと、えらく細長い円錐だ。なんか、そのあたりにギミックが隠れていそーな気がする^^;

 コマ大数学研究会は、問題の円錐と同じ縮尺の円錐を探すことから始まった。しかし、ピッタリの円錐が見つからず、粘土で作った円錐にひもを巻きつけて、一番短くなる巻き方を考える。

コマ大生の解答

 ちょっと、わかりずらいかもしれないが、円周が一番小さくなるのは、円錐の先っちょの部分だ。側面を1回転して頂点付近に行き、そこで、3回転させて、再び、1回転してA地点に戻る。ひもの長さは「60cm」となった。

 マス北野は、コマ大数学科の第3回でやった、ビリヤードの「モーペルテュイの原理(最小作用の定理)」を頭の中で思い浮かべたようだ。円錐の展開図を5つ並べた図をかなり正確に描き、同じA地点となる点を直線で結んだ。

マス北野の解答

 円の中心から垂線の足を下ろし、15°75°90°の直角三角形を考え、計算した。答えは「46.3644」cm。

 衛藤樹さん、伊藤理恵さんの東大生チームは、今回も秒殺、瞬時に答えを書いた。衛藤樹さんによると、「受験テクニックでも、最短距離を求める問題は、展開図を書いて直線で結ぶ」というのが鉄則だそうだ。

東大生の解答

 マス北野と同様の図を描き、余弦定理と正弦定理を使った、2通りの方法で答えを求めた。答えは「46.364」。

竹内薫センセの「美しき数学の時間」

美しき数学の時間(1)

 おさらいになるけれど、手順としては、円錐の展開図から頂点の角度を求める。

美しき数学の時間(2)

 展開図を5つ並べた図を描く。竹内薫センセは、上図のような三角形で計算したけれど、展開図の頂点の角度は30°なので、A地点と6周目の点を結べば、直線(円の中心を通る直径)となり、マス北野の考えた直角三角形とは相似になる。

 電卓を使えば、簡単に計算できるが、cos30°は「√3:2:1」の直角三角形なので、cos30°=(√3/2)、二倍角の公式を使えば、cos15°の値を知らなくても(電卓を使わなくても)、答えを求めることができるという話。

美しき数学の時間(3)

 なんだか、今回の「たけしのコマ大数学科」は、ふつうに、高校の数学の授業みたいな感じ……。

 あ、そうそう、忘れていた。冒頭で「えらく細長い円錐だ」と書いたのは、もっと底面の大きい円錐だと、展開図を5つ並べたとき、180°を超えてしまい、A地点どうしを直線で結ぶことができなくなり、コマ大生の解法が正解となるから(もっとも、これじゃ、問題にならない^^;)。

≪追記:9月21日≫
 √記号の中に√記号があるという、二重根号を外す方法がコメントで寄せられた(※コメント参照)。

 つまり、二重根号は「あまり美しくない」というわけね。今回の場合、そのまま二重根号を外すこともできるけれど、そもそも「二倍角の公式」を使わず、「加法定理」を使えば、二重根号にならない。

 以下、爺でもわかる(?)加法定理^^;

 番組内で二倍角の公式を「『コス・コス・サイン・サイン』と暗記しているものですよね」と竹内センセが言っていたが、三角関数の公式はいっぱいあって、ひとつひとつを丸暗記するのは、けっこう大変。放送大学の長岡亮介センセは、「丸暗記する必要はなく、既知の公式から導き出せればよい」と言っていた。とゆーか、その関係性がちゃんと理解できているほうが重要とゆーことだと思う。

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ^^;

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト


|

« ■高校生クイズ:ピラミッドの石の数・太陽の寿命計算 | トップページ | ■コマ大数学科152講:祝150回記念 »

コメント

今回はマス北野と同じ直角三角形から、三平方の定理で解きました。(ここの所、出演者と違う解法ばかりです:笑)

75°を直角の方から60°と15°にとなるように補助線を引くと、三角定規と二等辺三角形に分割されます。すると、垂辺と底辺(直角を作る2辺)の比が、

1:(2+√3)

と分かり、これから斜辺の比が三平方で算出します。

その過程で気付いたのですが、竹内先生が示されたcos15°の値は二重根号を使わずとも表すことが出来ます。以下にそれを示します。

 cos^2(15°)
=(2+√3)/4
=(4+2√3)/8
=(1+√3)^2/8

したがって
 cos15°
=(1+√3)/2√2
=(√2+√6)/4

ついでに今回の解
48×(√2+√6)/4=12(√2+√6)

こちらの方がきれいな表記だと思うのですが、表記法のルールはどうなっているのでしょうね。小数にしてしまえば同じですが・・・

毎度長くて申し訳ありません。

投稿: アキレ・サンタ | 2009年9月20日 (日) 11時43分

加法定理からcos15°=cos(45°-30°)でも二重根号は出てきませんね。
二重根号が出ても√(2+√3)=√(4+2√3)/√2から二重根号が外せます。

俺も二重根号がない方が綺麗だと思います

投稿: 通りすがり | 2009年9月21日 (月) 17時34分

コメントありがとうございます。

記事中に「加法定理」の説明を追加します^^;

投稿: Gascon | 2009年9月21日 (月) 23時40分

日本大学文理学部数学科の講師をしている者です。

大学の授業でこのサイトを使わせていただいております。
毎週水曜日の午後1時から2時30分まで授業をしているので、更新などで閲覧できなくなることがあれば、教えていただくと大変ありがたいです。

投稿: 塚田孝治 | 2009年10月28日 (水) 16時24分

塚田さん、コメントありがとうございます。

大学の授業で当ブログを使っていただいているということで、大変、うれしく思います。

当ブログは、ニフティが運営する「ココログ」(フリー:無料)を使っています。サーバー・メンテナンスの時期は、私の関知することではありませんので、以下の「お知らせココログ」をチェックしてください。

http://info.cocolog-nifty.com/info/

※メンテナンス中は、主にブログ管理者の記事投稿ができなかったり、コメントを投稿できなくなることがありますが、ブログの閲覧までできなくなる事態は、稀にしか起こらないと思います(頻繁にあっては困ります^^;)。

投稿: Gascon | 2009年10月28日 (水) 17時28分

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)


コメントは記事投稿者が公開するまで表示されません。



トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.f.cocolog-nifty.com/t/trackback/99648/31443177

この記事へのトラックバック一覧です: ■コマ大数学科151講:円すい:

» たけしのコマ大数学科#149 「円すい」 [シャブリの気になったもの]
たけしのコマ大数学科#149 (旧名称・たけしのコマネチ大学数学科) フジテレビ 2009年9月17日 深夜OA 今回のテーマは、 「円すい」 たけしのコマ大数学科 DVD-BOX 第4期 ¥5,558 Amazon.co.jp 【New】 た... [続きを読む]

受信: 2009年9月20日 (日) 22時38分

« ■高校生クイズ:ピラミッドの石の数・太陽の寿命計算 | トップページ | ■コマ大数学科152講:祝150回記念 »