« ■コマ大数学科147講:正八面体 | トップページ | ■コマ大数学科149講:アポロニウスの円 »

2009年8月30日 (日)

■コマ大数学科148講:ボヤイ・ゲルヴィンの定理

 「残暑きびしき折、頭が働かないよ~なんて、ボヤイてる場合じゃありません。今日もはりきって、すうがく!すうがく!」と腕を「ゆってぃ」のようにパタパタさせる戸部洋子アナの「たけしのコマ大数学科」

問題:図のような円に内接する五角形があり、以下の条件のとき、角BCDと角CDEの大きいほうの角度を求めなさい。

コマ大148講の問題

 コマ大数学研究会は、日本人になじみのある円といったら、相撲の土俵。というわけで、両国国技館ではなく、そこから目と鼻の先にある、「花の舞 両国国技館前店」の店内中央にある土俵で検証。

 5人が土俵の俵(円周上)に立って、ゴムぱっちんを張り、条件に合うような五角形を作ろうという作戦。

 爺が作成したFlashでは、画面上部にある数字が、∠Aの角度、左下が∠C、右下が∠Dになる。画面両側にあるツマミを動かして、∠Aが105°、∠Cと∠Dの差が25°になれば、図が完成し、答えがわかる。

 やってみれば、わかるけれど、ぴったり答えを合わすには、左右のツマミ、つまり、AB(BC)の辺の長さと、AE(ED)の辺の長さが両方とも合っていなくてはならず、目分量で合わすには、微妙な調整が必要になる;;

 ゴムぱっちんの痛みに耐え、図を完成したコマ大生の出した答えは「125°」。

 中村亨センセによると、今回の問題は、いろいろな解き方があるとのこと。

 今回の東大生チームは、衛藤樹さんと伊藤理恵さん。東大生は、五角形の対角線を引き、円周角に注目した。

東大生の解答

青いを「x」、赤いを「y」とすると、
x+y+(180-2x-2y)=105 ……①
|(x+2y)-(2x+y)|=25 ……②
①、②より、
(x,y)=(50,25)(25,50)
∠BCD=x+2y , ∠CDE=2x+y に代入して、
125°と100°が求まり。問題は大きいほうの角度なので、答えは「125°」

 途中で計算違いがあったようで、東大生は、10分間の制限時間をいっぱいに使いきり、答えをだした。

 マス北野は、開始早々、戦略が立っていたみたいで、5分とかからず、答えを書いて、余裕の、そして会心の微笑み。

マス北野の解答

円の中心と、それぞれの角を結ぶ線を引くと、二等辺三角形ができる。青いと赤いを足した角度は105°とわかっているので、青い3個+赤い3個は、105×3=315。五角形の内角の和(540°)から、315°を引けば、残りは、X+Yの角度になる。XとYの差は25°なので、連立させれば、答えが求まる。

 さすが、図形に強いマス北野。じつにシンプルで明快な解き方だ。

中村亨センセの「美しき数学の時間」

 今回の問題は、いろいろな解き方があるということで、3つの解法を紹介してくれた。解法(1)は、東大生と同じく、五角形の対角線を引き、円周角を使って求める方法。途中の計算方法がちょっと違うけれど、考え方は一緒なので省略。解法(2)は、円の中心からそれぞれの角に補助線を引く方法で、マス北野が解いた方法と同じなので省略。

 さて、解法(3)は、今回のテーマ「ボヤイ・ゲルヴィンの定理」とも、からんでくる「分割合同」という考え方だ。

 「ボヤイ・ゲルヴィンの定理」は、どんな図形も、三角形に分割して、「分割合同」していくと、長方形の面積として表すことができるという定理らしいが、爺の気力が続かないので、今回は、このへんで、かんべんしてほしい><;

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ^^;

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト


|

« ■コマ大数学科147講:正八面体 | トップページ | ■コマ大数学科149講:アポロニウスの円 »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)


コメントは記事投稿者が公開するまで表示されません。



トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.f.cocolog-nifty.com/t/trackback/99648/31166085

この記事へのトラックバック一覧です: ■コマ大数学科148講:ボヤイ・ゲルヴィンの定理:

» たけしのコマ大数学科#146 「ボヤイ-ゲルヴィンの定理」 [シャブリの気になったもの]
たけしのコマ大数学科#146 (旧名称・たけしのコマネチ大学数学科) フジテレビ 2009年8月27日 深夜OA   今回のテーマは、 「ボヤイ-ゲルヴィンの定理」 たけしのコマ大数学科 DVD-BOX 第4期 ¥5,558 Amazon.co.jp... [続きを読む]

受信: 2009年9月 2日 (水) 08時29分

« ■コマ大数学科147講:正八面体 | トップページ | ■コマ大数学科149講:アポロニウスの円 »