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2009年7月11日 (土)

■コマ大数学科141講:原始ピタゴラス数

ピタゴラスは、物事の根源、「アルケーは数である」と言った。そんなこと、あるけー?「たけしのコマ大数学科」。

問題:三辺の長さが整数の直角三角形があります。三辺のうち、二辺の長さが素数であり、直角三角形の周囲の長さが132のとき、三辺のそれぞれの長さを答えなさい。

例として挙げた「33:44:55」の直角三角形は、三辺の長さが132になるけれど、どの辺も素数じゃないので、ダメだよ。

今回の東大生チームは、東大大学院生&タレントの木村美紀と、現役東大生の山田茜さん。夏に向けて、木村美紀は、「恋のブランコ理論」で婚活をしたいと言う。その方法とは、体をゆらゆらさせるだけ。なんでも、ゆらゆらしているものを見ると、人はその動きを追って注視し、寄ってきて捕まえたくなるのだという。「恋の吊り橋理論」というのは、聞いたことがあるが、乙女心はゆらゆらと揺れるものに弱いのかも。

山田茜さんは、東大テニスサークル「トマト」の夏合宿が控えているという。じつは、「トマト」のサークル仲間がスタジオ見学に来ていたのだが、スタジオのある場所「青海」を「青梅」と勘違いして、間に合わなかったメンバーがいた。

さて、今回の講義の題目は「原始ピタゴラス数」。ピタゴラス数は、ピタゴラスの定理を満たす整数の数。そして、三辺の数の最大公約数が「1」であるようなピタゴラス数のことを「原始ピタゴラス数」と呼ぶ。すべてのピタゴラス数は、原始ピタゴラス数を整数倍することで得ることができる。竹内センセによると「ピタゴラス数を作る大元の整数」とのこと。

コマ大数学研究会は、お台場の砂浜で、1メートルごとに印のついた、長さ132メートルのロープを使って検証を開始。直角三角形の一辺の長さを2メートル、3メートル、5メートル…と、素数の小さい順に当てはめて、132メートルのロープの端と端がぴたりと重なる直角三角形を描いていき、正解を見つける。

前回から、対戦開始を告げる、ガダルカナル・タカの決めポーズは、無しということだったのだが、無ければ無いで、やはり、寂しいということで、新ポーズを披露。「vincit qui se vincit(自分に勝つ者が勝つ)」。ネットで検索したら、紀元前1世紀のローマの喜劇作家、プブリリウス・シュルス『金言集』からの言葉のようだ。

すでにロケで答えを見つけたコマ大生は、マス北野と東大生が戦っている間のヒマを持てあまし、テニスサークル「トマト」に対抗して、コマ大サークル「ゴーヤ」を結成&メンバー募集のポスターを作成。条件は、22歳以下と言いたいところだが、初回募集なので、特別に44歳以下の女性。水着審査あり(小さい水着の者より合格)。今後の行事予定…秩父の夜祭り見学。名誉会長:ゴーヤ三郎。

で、コマ大生の答えは「11、60、61」

マス北野は、開始早々、答えを書いた。132を素因数分解すると、2^2*3*11になる。素数になる一辺「a」を「11」とする。マス北野の説明では、よくわからない部分もあったけれど、たぶん、マス北野の頭の中では……。a^2+b^2=c^2 …… ピタゴラスの定理
a^2=c^2-b^2 …… b^2を移項
a^2=(c+b)(c-b) … 積の形にする
左辺は、a=11としたので、11^2=121。
左辺は、奇数、b、cは互いに素、b、cは偶奇などの条件を満たす、右辺の(c-b)は「1」になるはず。辺の合計は、132なので、132-11=121、つまり、(c+b)=121になることから、a=11 b=60 c=61を導き出したと思われる。答えは「11、60、61」。

東大生チームは、まず、三辺の長さの平均は、132÷3=44になるので、その近辺にある素数を並べ、その組み合わせの表から、答えを出そうとしたが、大苦戦。追い込まれた木村美紀が「先生、ヒント下さい」「素数じゃない辺はどれですか?」との、強引すぎる質問に、竹内センセは、思わず重大なヒントをもらしてしまった^^; 番組内では「ピー」で隠されていたが、スタジオ内は騒然となった。たぶん、答えそのもの、「素数じゃない辺は、60の辺です」と答えたのではないかと、爺は邪推する^^;

そのヒントを得て、東大生チームも答えは「11、60、61」となった。

竹内薫センセの「美しき数学の時間」

C141_01

※爺註: m > n という条件も入れておくべきだと思う。

で、ちょっといい話(数学のトリビア)は、原始ピタゴラス数の直角三角形に内接円を描くと、r=n(m-n)という一般式で表すことができるという話。

番組では、内接円の半径の数値が間違っていたので、あらためてエクセルの表を掲載しておく。

C141_02

コマ大フィールズ賞は、文句なしに、マス北野が獲得したが、番組のエンディングトークで、マス北野は「サウナで、秋山さんと一緒になって、ピタゴラスの話を聞いていて……」と話していた。この「秋山さん」って、秋山仁センセのことだろうか。サウナで数学談義^^; マス北野ってホントに数学が好きなんだなぁ^^;

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ^^;

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2008年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト


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コメント

はじめまして。
いつも番組を録画で見た後こちらも拝見してます。今回時間のずれに気づかず半分しか見られなかったのですが,次のような解説はなかったのでしょうか?
解答として成り立つとして,その場合の条件の不備など,この場でお教えいただけると幸いです。
よろしくお願いします。

●斜辺(最長の辺)は132÷2=66より小。(つまり,2辺の和>66)
●ここで,66以下の素数の2乗を書き並べたら,一の位が1か9しかない。
●ということは,1辺の一の位は0とあたりをつけた。(50の2乗の2500では平方の和が無理そうだったので,60としてみた)
●後は,三平方の定理で成り立ちそうな数値を探したら,(11,60,61)にたどり着いた。


投稿: Yu | 2009年7月11日 (土) 15時12分

Yuさん、コメントありがとうございます。

う~ん、ごめんなさい。爺には、よくわかりません><; 番組内で、Yuさんのコメントのような説明があったかと聞かれれば、ありませんでした。

直角を挟む二辺のどちらかを素数とすると、もう一辺は偶数になり、斜辺は素数になることを前提として、7以上、66以下の素数を二乗したとき、1の位が「1」または、「9」になります。ここまでは、爺にも理解できます(Maximaで確認してみました^^;)。

たぶん「1の位を0とあたりをつけた」というのは、素数を二乗した数の1の位が「1」のグループと、「9」のグループに分け、1+0=1、または、9+0=9と考えたんじゃないでしょうか……。しかし、1+8=9や、9+2=11の場合だって考えられなくもありません(これを除外できる考え方が書いていない)。ここまでの説明で、辺「a」を素数、辺「c」を素数としたときに、辺「b」は、66以下の偶数であることしかわかっていません。

考えられる素数をリストアップし、累乗を計算するだけでも大変ですが、さらに、たくさんある、組み合わせの中から、(a^2+b^2=c^2)や、(a+b+c=132)、gcd(a,b,c)=1(最大公約数が1)などの条件を利用して、どうやって、一意に定まる数に絞り込むかが、ポイントですね。

投稿: Gascon | 2009年7月16日 (木) 23時40分

UFO呼びの秋山眞さんではないでしょうね。

投稿: あんどう | 2009年7月19日 (日) 13時35分

この問題、試行錯誤しなくても解けますよね、

a^2 + b^2 = c^2
a + b + c = 132
a,b,c の2つは素数

a を素数とする

a^2 = c^2 - b^2 = (c-b)(c+b)
より、
c-b = 1
c+b = a^2
となる。

132 = a + a^2 となり、
a^2 + a - 132 = (a+12)(a-11) より a=11 が求まる。
後は簡単な計算で、
b= 60, c = 61 が求まる

投稿: usatan2 | 2009年7月19日 (日) 22時51分

いつも楽しく見させていただいております。
1+8=9や9-2=11を排除するには、
x^2の1の位は0,1,4,5,6,9しか取らない、
ということを用いれば良いですね。
そうなると、
1+0=1
9+0=9
1+9=10
の3パターンしかなくなりますから、
ずいぶん絞り込めます。

usatan2さんの回答に感銘をうけました。
なぜ番組内ではこの解法を紹介しなかったんでしょう。

投稿: sin | 2009年7月30日 (木) 16時21分

あんどうさん、usatan2さん、sinさん、
コメントありがとうございました。

投稿: Gascon | 2009年7月30日 (木) 23時49分

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