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2009年5月18日 (月)

■コマ大数学科133講:ソ連の円周問題

 新型インフルエンザA(H1N1)が国内でも感染拡大しているもよう。軽度症状の感染者は家から出ないようにと呼び掛けているが、爺の場合は、1年中、家にひきこもりの「たけしのコマ大数学科」アンドリアノフ~^^;

133講:問題

問題:三角形ABCの外接する円周上を動く点Pがある。PからAB、ACにおろした垂線の足をM、Nとするとき、MNの長さが最大となるPの位置を作図せよ。

 コマ大数学研究会のロケには、ひさびさに「ラート師匠」が登場。ラートに三角形の紙を貼り、任意の点Pをいろいろ変えて、M・N 間の距離を実測する。コマ大生の到達した答えは……。

コマ大生の答え

 点Aから、ラート師匠の「いちもつ」を通り、「へそ」を抜け、「脳天」Pに至るとき、M,Nの距離は、最大になるとした。

東大生の答え

 衛藤樹さん、伊藤理恵さんの東大「秒殺シスターズ」の答えは、PがAと重なるとき、MNの距離は0、A→B、あるいは、A→CへPが移動するとき、MNの距離は単純増加する。このことから、Pの位置は、BCの円弧上にあると推論(※爺註:⊿ABCが外接円の中心を含まない場合は、必ずしも、そーなるとは言えない;;)。M,Nの最大値は、B,Cと重なるとするも、そのときのPの位置は、BCを二等分し、垂線が円と交わる点をPとした。

マス北野の答え

 図形問題に強い、マス北野。AとPを結ぶ線が直径となるとき、M,Nが最大になり、かつ、B,Cと重なることを見抜いた。三角形ABCが直角三角形の場合は、確かにそうなのだが、一般解を求めるには、やや不明瞭な部分があり、説明不足になってしまった。

■竹内薫センセの「美しき数学の時間」
 竹内センセは「シンデレラ(Cinderella)」という、ソフトを使って説明した。爺の作成した、Flashは、それを模したもの。

※キーボードの[←][→]で、点Pを移動できる(※爺註:動かないときは、画面内を一度クリックする)。数値は、外接円の半径を「1」としたときの、MNの距離。ピクセル単位の座標で計算しているため、誤差が……。

 結論から言うと、MNは、BCと重なるとき最大になり、そのとき、AとPを結んだ直線は、円の中心を通る。

 まず、APを直径とする円を描く。∠MPNと、∠MANは、ともにMNを弦とする円周角なので同じ。かつ、∠BACも、MはAB上、NはAC上にあるので、同値となる。点Pを動かすと、MNの長さも変わり、円の大きさも変わるが、円周角MPNの値は変わらない。つまり、MNを最大にするには、APを直径とする円を最大にすればよい。それは、三角形ABCに外接する円と同じ大きさで、APは直径なので、円の中心を通る。

 とてもわかりやすい説明なんだけど、点Pが弧BC上にあるときは、当然ながら、∠MPNと、∠BACは、一致しない……。

 マス北野の答えは、直角三角形の場合は、成り立つが、それ以外の三角形の場合は成り立たない。コマ大・フィールズ賞は、図形としてあっていた(理由は問わず^^;)とゆーことで、コマ大数学研究会が獲得した。

 ところで、今回のタイトル「ソ連の円周問題」だが、「数学オリンピック」は、1959年、旧ソ連圏の7カ国が参加してスタートしたそうで、第20回にイギリスが加わり、以降、参加国は増え続け、現在は、100カ国にもなろうとしている。クレジットに資料提供「数学オリンピック財団」とあったので、たぶん、過去の数学オリンピック(旧ソ連の開催?)からの問題だと思う。でも、そのことには触れられていなかったので、その、つながりが、よくわからなかった;;。

≪参考≫
シムソンの定理(Wikipedia)

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ^^;

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2008年度全講義リスト(暫定版)
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト


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たけしのコマ大数学科#133(番組的には128回?) (旧名称・たけしのコマネチ大学数学科) フジテレビ 2009年5月14日 深夜OA   今回のテーマは、 「ソ連の円周問題」 たけしのコマ大数学科 DVD-BOX 第4期 ¥5,558 Amazon.co.jp... [続きを読む]

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