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2009年4月24日 (金)

■コマ大数学科131講:春の数学祭り

 2009年、東京マラソンが開催された日、全国の数学好きの人が集まり、熱きバトルが繰り広げられた……なんちゃって、今回は「たけしのコマ大数学科DVD 第4期」の発売イベントで出された問題を解く、春の数学祭り。

第1問:左下の出発点から45度の角度で球を発射し、壁に当たると45度の角度で跳ね返る。球がポケットに入るまでに何回、跳ね返るか?

【注意】[Shot]ボタンを押すと、正解がわかっちゃうよ。自分で考えたい人は、答えを出してから押してね^^;

 コマ大数学研究会は、イベント会場に集まった人に協力してもらい、座席をビリヤード台に見立て、球の軌跡を人で描く。そこで、得た答えは、「11回」。

 マス北野は、速攻で答えを出した。ビリヤード台の辺の長さが「7」と「6」のように、合計すると奇数になるときは、辺の長さを足して、2を引く。この「2」は、どこから出てきたかと言うと、出発点と、ポケットに落ちたゴール点だ。つまり「7+6-2=11」で「11回」という答え。

 今回の東大生チームは、生駒尚子さんと小橋りささんの東大「悩殺シスターズ」。ビリヤード台が壁で跳ね返らずに続くと考える。球は、45度の角度で発射するので、球がポケットに入るには、正方形の対角線を進むことになる。横の長さが「7」、縦の長さが「6」のビリヤード台では、「7」と「6」の最小公倍数「42」が正方形の一辺の長さになる。それを図で表すと、以下のようになる。

C131_02_2

竹内薫センセの「美しき数学の時間」(1)

 竹内センセはビリヤード台で球が跳ね返るとき、「鏡を立てて考えると、鏡の世界では球は直進する」と説明したが、東大生の考え方と基本的には同じ。つまり、一辺が42の正方形になる。
GCM(6,7)=42 ※GCMは、最小公倍数を求める関数
一辺が42の正方形の中に縦7個と横6個が並び、球の軌跡との接点は2個あるわけだが、スタート地点とゴール地点のそれぞれ1個を引けばよい(マス北野の考え方)。
((42/6)-1)+((42/7)-1)=7+6-2=11

辺の長さが互いに素ではない場合でも、最小公倍数を使えば、答えを求めることができる。
たとえば、縦が「6」で横が「3」の場合は、
GCM(6,3)=6
((6/3)-1)+((6/6-1)=1
1回のクッションでポケットに入る。

で、辺の長さが「m」と「n」の場合、
C131_03
「m」と「n」が互いに素なら、
「m+n-2」が成り立つ。

 鏡を立てるっていう発想は、球の軌跡がレーザー光線のように直進するイメージだけれど、球には大きさがあり、壁で跳ね返る位置は、壁までの距離から球の半径を引いたものになる;; そんなわけで、現実のビリヤードではありえない。爺が作成したFlashも、球の中心が壁に達したとき反射しているので、見た目、不自然に感じるかも……><; 半径「1」の球を用いたならば、この問題は「9×8」のビリヤード台とすべきだが、そこは、数学のお約束で、あくまで、球の大きさが極限まで「0」に近づいた場合ね^^;

第2問:直角二等辺三角形OABの下に直角三角形ABCが接している。ACとBCの長さの合計が「8」 角ABCが10°のとき、ふたつの三角形の面積の合計を求めよ。

C131_04

 竹内センセによると、小学4年生でも解ける問題だという。

 さて、この問題は、イベント参加者を含めての対戦となった。当然、イベント日と番組収録日のズレはあるのだが、よーいドンで始まった。コマ大生は、イベントに参加していたので、この問題はお休み。

 マス北野は、問題用紙をハサミで切り抜くという、誰もが唖然とする方法で、瞬時に問題を解いてしまった。東大生も負けじと答えを書き込む。あせった戸部アナは、正解発表の前に、思わず「正解です」と口走ってしまう^^;

 イベント会場で一番乗りをしたのは、一般参加で来ていた、松江由紀子さん。所要時間、1分30秒。しかし、コマ大卒業生ということで、賞品の「数学仮面」は辞退。続いて正解したのは、日下部匠さん。じつは、日下部さんは、前回のイベントでも優勝して「お宝フラッグ」を手にしている。2連覇達成だ。

東大「悩殺シスターズ」の答え

C131_05

 図のようにふたつの直角三角形を足した長方形を考える。このふたつの直角三角形は合同である。

BC=a+b  AC=a-b
AC+BC=2a=8
a=4

 長方形の縦の長さは「4」、横の長さは「4-b」とおく。オレンジ色の2つの直角三角形の面積は、
(4*b)/2*2=4*b

 求める面積は、長方形の面積から2つの直角三角形の面積を引いたものなので、
(4*(4+b))-4b=16 ※bは未定で常に一定

というわけで、bは未定のまま、「16」という答えが出た。

マス北野の答え

C131_06

 マス北野は、問題用紙を切り抜き、上の図のように貼り付けた。すると、台形が出来上がる。台形の面積は、(上底+下底)×高さ÷2で求めることができるが、この場合、上底+下底(AC+BC)は「8」であることがわかっているし、高さ(AC+BC)も同様に「8」である。よって、8×8÷2÷2=16

 マス北野は、最初から「10°」というのはひっかけだな、と言っていた。また、「小学生でも解けるのなら、台形の面積だろう」と言ったが、現在、小学5年生では、台形の面積を求める公式は習わないみたいだ。では、竹内センセの言う小学4年生でも解ける解法とは?

竹内薫センセの「美しき数学の時間」(2)

 その前に、イベント会場で一番乗りを果たした松江由紀子さんの解法……。

C131_07

 AC=a BC=bとおき、そのまま、それぞれの三角形の面積を求める式に当てはめると、途中で(a+b)^2/4という式になる。(a+b)=8なので、64/4=16というわけだ。

C131_08

 解法(2)は、東大「悩殺シスターズ」の解法と同じく、合同な直角三角形2つ作る方法だが、その方法が少し異なる。ACの辺を伸ばし、Oから垂線を引く。辺BCに対してOから垂線を引く。AC+BC=8だが、a+AC+(BC-a)も、同じく「8」である。求める面積は、4×4の正方形の面積に等しい。

C131_09

 解法(3)は、マス北野の解法と発想は同じだが、もう少し拡張したもの。元の図形を90度ずつ回転させて、貼り付けていけば、一辺が「8」の正方形ができるわけ。マス北野の「10°は、ひっかけ」のとおり、直角二等辺三角形に違う角度の直角三角形を足した場合でも、90度ずつ回転させて、貼り合わせれば、大きな正方形になる。これが小学4年生にも解ける解法ということだった。

 ところで、生駒尚子さんが、今回をもって卒業ということらしい。ブログも閉鎖した。

「生駒尚子のぽじてぃblog」からの引用/*
これからもうちょっと色々なことを勉強して、もっとありのままの自分をアピールできるような舞台で活躍できればなと思います。
*/

 ポヌさんも抜けて、生駒尚子さんもコマ大からいなくなると、ちょっと寂しい気がするけれど、新たな舞台での活躍を祈ろう。

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ^^;

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2008年度全講義リスト(暫定版)
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト


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コメント

問題1の、壁に跳ね返る回数の式ですが、分母と分子が逆ではないですか?互いに素であるとき、GCMは1というのを代入すれば確認できると思います。

投稿: 森川由紀 | 2017年9月12日 (火) 21時02分

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