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2009年3月 7日 (土)

■コマ大数学科126講:王様と城

 民主党の「はだかの王様」小沢代表の第一秘書が、政治献金規制法違反の疑いで逮捕された。自民党もパーティー券というかたちで、西松建設から資金を得ていた議員がぞろぞろ。「いいかげんに城」とゆーわけで、「たけしのコマ大数学科」。今回は、ヘンリー・アーネスト・デュードニー(1853~1930年)が考えたパズル「王様と城」の問題。

問題:城10個を城壁5列にそれぞれ4個ずつ並べる。城壁を越えなければ外から近づけない城が1個以上あるような、城の配置を考えなさい!

 ルールを整理しておくと、城壁は直線。それぞれの城壁には城を4個配置すること。城の数は合計10個。問題図は、どの城も城壁を超えることなく、外から近づくことができるのでダメ。「Clear」ボタンを押し、マウスのドラッグ&ドロップで城壁(直線)を引いてほしい。図が完成したら、自分で城を置いて、全部で10個になるか、どうか確かめてね。

 コマ大数学研究会は、城模型の分野では国内No.1のシェアを持つ、プラモデルの老舗メーカー「童友社」を訪れた。「童友社」の全面協力のもと、城模型を使って検証開始。辿り着いた答えは……。

コマ大生の答え
コマ大生の解答

東大生の答え
東大生の解答

 今回の東大生は、木村美紀、岡本麻希さんの「野望めらめらシスターズ」。あきらかに「a」の答えは、城壁に囲まれた城がないので、ダメである。

マス北野の答え
マス北野の解答

 図形問題に強い、マス北野。城を取り囲む城壁は、最低3本必要と考え、三角形から発展させ、わずか10分間に、5つの図形を描いた。ただし、「c」と「d」は、基本的に同じ図形のようだ。

中村亨センセの「美しき数学の時間」
ポイント

 ポイント1:それぞれの城を通る城壁の数は2本。
城壁には、4つの城があり、それが5本で20個。しかし、城の合計は10個なので、2つの城壁が交差するところに城がある。もしも、3本の城壁が交差する点に城を置くと、ひとつの城壁には4つの城があるので、すでに城の数は10個。3本の線に新たに線を引いても、交点は3つしかできない。つまり、4本目の城壁を作ることは不可能。

 ポイント2:内部の城は、その城を通る2本の城壁以外の3本の城壁で囲まれる。
マス北野が気づいたように、城壁で囲まれた城を作るには、最小で3つの城壁が必要。そして、それ以外の2本の城壁が交差するところに城を配置するわけだから、おのずと、5本の城壁の配置は決まってしまう。

 ポイント3:三角形の外側にある城の位置に注目する。
外壁をなす、3本の城壁と、三角形の内側に交点を持つ、2本の城壁が三角形の外側で交差するような直線を考えるということ。三角形の外側に城が2つある(Eの場合は、3つ)。

中村亨センセの解説

 というわけで、正解は、上記の5パターン。爺は「直線上に城が4つある」というのを聞いて、コマ大数学科の過去問題、木下眞二さんの「だんご3兄弟」を連想してしまったが、番組終了時のクレジットを見て納得^^; 123講「正三角形ピタゴラス」に続き、今回の問題も、資料提供は、「北海道大学名誉教授 木下眞二」とあった。

 詳しい解説と、5パターン以外の解がないことの証明は、木下眞二さんのホームページを見てほしい。

木下眞二のホームページ
※「王様と城」のページ

コマ大数学科 DVD-BOX4(第4期)3月18日発売予定

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ^^;

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマ大数学科:2008年度全講義リスト(暫定版)
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト


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コメント

はじめまして(^o^)

番組では、Eが一番難解って言ってましたが、自分はBが難解でした(>o<)。 (B以外は星型の横線を上下に動かすことによって解けたんですが…)

投稿: もっつ | 2009年3月 7日 (土) 05時40分

もっつさん、コメントありがとうございます。

 爺も、番組を観ながら、ノートにいろいろな図形を描いてみたのですが、城の数が10個を超えちゃうんですよね。けっきょく、コマ大生と同じ図形しか、できませんでした。時間制限のある番組内で、5つ、すべてのパターンが出揃ったことは、かなり「スゴイ」ことだと思います。

投稿: Gascon | 2009年3月 7日 (土) 17時18分

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