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2009年1月17日 (土)

■コマ大数学科119講:バスケットボール

 駒場祭のときの「メイド姿」の写真を公開した山田茜さんと木村美紀の「フレッシュ1年コンビ」を迎えての「たけしのコマ大数学科」(木村美紀は大学院1年だが…)。今回のお題は「バスケットボール」ということで、コマ大数学研究会からの出題。バスケットボールは漢字で書くと「籠球」、サッカーは「蹴球」、そして「氷球」と書くと、アイスホッケー。では、「門球」と書くと……。マス北野が「ゲートボール」と答えると、「……ですが、『柱技』と書くと何のスポーツでしょうか?」 これも、マス北野が「ボーリング」と答えてしまい、「ですが…」と続けると、困ったコマ大生「…ですよ」^^;

問題:バスケットボールの得点は、フリースローが1点、スリーポイントラインの内側からだと2点、外側からだと3点入る。ちょうど得点が10点になるまでの得点経過は何通りあるか?

 コマ大数学研究会は、伊藤理恵さんが所属する東大バスケットボール部と対戦。スコアを記録していくが、なす術もなく3連敗、はやくも息が上がってしまい、続行不能。というわけで、コマ大生は、ビニールテープを使った、いつもの地味な検証。色分けされたテープを、1点、2点、3点の得点に応じた長さに切り、それをつなげていく。1本が10点の長さになるわけ。すべての組み合わせを作り、テープが何本あるかを数えれば、それが答えになる。

 もちろん、爺は、コマ大生と同じ方法で検証だ^^;ランダムに1点、2点、3点の長さのテープを貼り付けて、10点分の長さのテープにする。最初は順調だったものの、数が増えるに従って、当てずっぽうの乱数では、重複した答えが多くなり、そのチェックがしんどくなる。グラフィックなしの、試作版では、うまくいったのだが、グラフィック処理を追加したところ、あまりの重さに動作があやしくなった。白状しよう。上のFlashは、試作版で得た答えを「配列」として、あらかじめ持っているのだ><;

 しかし、本当にすべての組み合わせを、漏れなく、ダブリなく、検証したコマ大生はすごい! 答えは「274通り」。

 東大生は、問題を10段の階段に置き換え、1段のパターンを「a(1)」、n段=a(n)として式を立てた。10段の場合は、その直前の状態によって、1段上るか、2段上るか、3段上るかの3通りがあり、a(10)=a(9)+a(8)+a(7)と表すことができる。同様に、a(9)、a(8)……と求めていく。すると、結局「44*a(3)+39*a(2)+24*a(1)」という式になる。1段の場合は、a(1)=1通り、2段の場合は、a(2)=2通り、3段の場合は、a(3)=4通りと、数が少ないので、手作業ですべての組み合わせを列挙することができる。これを式に当てはめると、「44*4+37*2+24*1=176+74+24=274」というわけで、答えは「274通り」。

 マス北野は、今回、問題が発表されると、勝ち誇った笑いを浮かべた。どうやら、この問題の解法を知っているらしい。さらに、竹内薫センセから、「以前やった問題を思い出せば、秒殺かな」というヒントが出る。

 それは、コマネチ大学数学科の記念すべき、第1回目「フィボナッチ数列」だ。「階段を上るとき、1段上るか、2段上るか、2通りの方法があるとして、15段の階段を2つの方法を組み合わせて上ると何通りになるか」という問題。フィボナッチ数列の場合は、「f(n)=f(n-2)+f(n-1)」と表すことができた。今回の問題は、そのフィボナッチ数列を拡張したもので「トリボナッチ数列」という名前がついている。マス北野は、フィボナッチ数列が直前、2つの答えを足し合わせたものだが、トリボナッチ数列は、3つの答えを足し合わせればよいことに気づいていた。

 つまり、「T(n)=T(n-3)+T(n-2)+T(n-1)」というわけだ。T(1)、T(2)、T(3)を求めれば、あとは、足し算していくだけで、答えを求めることができるというわけだ。今回は、3チームとも正解し、マス北野&ポヌさんチームが、コマネチ・フィールズ賞を獲得した。

C119_01

 「エクセル」では、上のような表を作り、セルB5に「=B2+B3+B4」として、オートフィルで連続入力すれば、ちょうど、10点になったときの組み合わせ数が表示される。

 これをフィボナッチ数列のときのように、階段で考えると、1段目(n=1)が「1通り」となるのは、わかるけれど、なぜ、0段目(n=0)が「1」になるの? と素朴な疑問を抱く人がいるかもしれない。爺が考えるに、これは「2^0=1」のような、数学的な「お約束」ではないかと思う。

C119_02

 例えば、「2^n」を数直線上で考えると、「2^0=1」と定義しておいたほうが、連続性が保たれ、都合がいいからだ。もっとも、フィボナッチ数列や、トリボナッチ数列には、負の場合はないけれど。

 竹内薫センセの「美しき数学の時間」、ちょっといい話では、フィボナッチ数列の拡張形として、トリボナッチ数列に続いて、さまざまな数列が紹介された。

フィボナッチ数列(Fibonacci number)
1.1.2.3.5.8.13.21.34.55…
トリボナッチ数列(tribonacci number)
1.1.2.4.7.13.24.44.81…
テトラナッチ数列(tetranacci number)
1.1.2.4.8.15.29.56.108…
ペンタナッチ数列(pentanacci number)
1.1.2.4.8.16.31.61.120…
ヘクサナッチ数列(hecanacci number)
1.1.2.4.8.16.32.63.125…
ヘプタナッチ数列(heptanacci number)
1.1.2.4.8.16.32.64.127…

オバマナッチ
Yes We Can!

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※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト


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