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2008年11月22日 (土)

■コマネチ大学数学科112講:マジック

今回は、過去の数学オリンピックに出題されたという、数理マジックだよ「たけしのコマ大数学科」

問題:1~100の数字が書かれたカードが3つの箱に入れられている。異なる2つの箱からカードを1枚ずつ取り出して、カードに書かれている数字の合計をマジシャンに教えると「カードを引かなかった箱を当てる」というマジック。このマジックが成立するためには、どのようにカードを3つの箱に分けて入れたらいいか答えよ。

つまり、このマジックのタネ明かしをせよ! という問題だが、爺がマジシャンの役をするので、考えてほしい。爺の作成したFlashは、インチキはしていないのだけれど、ぜんぜんおもしろくないのは、どーゆーわけだ><;

 今回の問題は、数のある性質に注目すると、とても簡単。木村美紀と山田茜さんの東大生チームは、1の位に注目して、3で割ったときの余りが0、1、2となるように、A、B、Cの箱に入れていく。ところが、実際にマジックを実演してみると、箱を当てることができなかった。問題を簡単にするため「1~10」の数で考えたためか、「1の位に注目する」という大失敗をしてしまった。

 正解は、トランプを配るように、A、B、Cの箱に、1、2、3と入れ、Aに戻って、また順番に、4、5、6……と入れていけばいい。これをカードがなくなるまで繰り返す。

C112_01

 カードの数を3で割ったときの余りに注目すると、Aの箱は余りが「1」、Bの箱は余りが「2」、Cの箱は余りが「0」となる。異なる2つの箱から、2枚のカードを取り出したとき、カードの数を合計し、3で割った余りが「0」のときは、「カードを引かなかった箱」は、C(緑の箱)、余りが「1」のときは、B(青の箱)、余りが「2」のときは、A(赤の箱)になる。

 マス北野は、上記の方法を解いていたが、スタート早々に「わかった!」と竹内薫センセもびっくりするぐらいの「ひらめき」を見せたのは、たぶん、以下の方法。

C112_02

 このようにカードを分けて入れれば、カードの数の合計が、102以上ならA(赤の箱)、101ならB(青の箱)、100以下ならC(緑の箱)とわかる。

 コマ大数学研究会の答えも、上記の方法だった(アタルがひらめいたのこと)。

 竹内薫センセの「美しき数学の時間」で、じつは、こんな簡単な方法もあるよ、と紹介するつもりが、マス北野とコマ大生の「ひらめき」に敗れた感じ。でも、そういう場面も、竹内センセは想定済み^^; もうひとつの「数理マジック」を用意していた。

 それは、52枚のトランプのカードを5枚、引いてもらい、マジシャンのアシスタントに渡す。アシスタントは、1枚ずつ、マジシャンにカードを示し、渡していくが、最後の1枚のカードの図柄(スペード、クラブ、ダイヤ、ハート)と、その数を当てるというもの。

 ここで、このマジックを実演するために、コマ大数学研究会のロケでも登場した「東大奇術愛好会」の渡辺義春さんと鈴木太郎さんのおふたりが登場した。

 東大生のふたり、マス北野、ポヌさん、コマ大生の選んだカードは……

C112_03

 そして、アシスタントがマジシャンにカードを示した順序は……

C112_04

 その答えは……「クラブの…4」ということで、答えが合わず、全員、ズッコケてしまった^^; 竹内センセもこれには想定外だが、番組的には「おいしい」ということで……。

 このマジックのタネ明かしは以下のとおり。

 まず、カードは4種類なので、5枚のカードを引くと、必ず、図柄が重複し、同じ種類のカードが必ずある。

 最初にマジシャンに示すカードは、カードの図柄(スペード、クラブ、ダイヤ、ハートの種類)を決定させる。それと、同時に起点となる数値をも示す。というのは、カードは「A」~「K」までの13種類の数があるが、ブリッジのように、続く3枚のカードで「強、中、弱」の組み合わせで「1~6」の数を指定し、起点となる数から、時計回りでその数ぶんだけ進む。

C112_05_2

 図のように円形に配置すると、同じ図柄のカードが2枚あるとき、その数の差(移動距離)は「6」を超えることがない。たとえば「K」と「6」の場合は、「6」から「7、8…」と数えると差は「13-6=7」になっちゃうけど、「K」から「A、2…」と数えれば「6」になるわけ。アシスタント役の渡辺さんは、次のような順番でカードをマジシャンの鈴木さんに渡せば、よかったのね。

C112_06

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※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト


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コメント

どうもこんばんわ。
アップどうもありがとうございます。

この問題も、31ゲームと同じタイプですね。題意を解くのは簡単だが、それが解の全てであることを示すのがメンドイ。いい頭の体操ではありますが。

結論を言えば、確かに、
A(3n+1) B(3n+2) C(3n)
A(1) B(2...99) C(100)
の2通りが解の全てです。紛れが少ない分、31ゲームよりは読みやすいです。

ちなみに、n箱中n-1箱からボールを取り出し、取らなかった箱を当てる問題に拡張した場合、
たとえばn=4の場合、
A(4n+1) B(4n+2) C(4n+3) D(4n)
のみとなり、n=3のような別解が出現しません。(b>4でも同様)

あえてn=3としたのは、n>4だと煩雑で美しくないのと、別解をあとで紹介するネタとしたかったんでしょう。

投稿: ccckt | 2008年11月26日 (水) 03時57分

ちなみに別解ないことの証明法。
一例のみ示します。

A箱に1,2 B箱に3が入っていたとき
 A(1,2) B(3)
(1) ボール4をC箱に入れると、
取り出し A(2)B(3)とA(1)C(4)を区別できない。
(2) 4をB箱に入れた時、C箱に入っているボールの最小数をxとおく。x-1がB箱に入っていれば、
取り出し A(2)B(x-1)とA(1)C(x)を区別できない。
x-1がA箱に入っていれば、
取り出し B(4)A(x-1)とB(3)C(x)を区別できない。
以上から、4をB箱に入れた場合、C箱にボールを入れることができず、C箱が空になってしまいNG。

(1),(2)より、ボール4はA箱に入れるしかない。この推論を数学的帰納法的に続けると、4-100まで全てA箱に入れるしかなく、これもC箱が空になってしまい、NG。

以上から、ボール(1,2)を同じ箱に入れるのはNG。

同じように、
A(1,3)B(2)の場合、
A(1,4)B(2,3)の場合、
A(1)B(2,3)C(4)の場合
と検証して行き、
A(3n+1)B(3n+2)C(3n)
A(1)B(2...99)C(100)
以外の全ての可能性を潰します。

投稿: ccckt | 2008年11月26日 (水) 04時19分

この問題、マス北野さんと同じ回答であっさりわかったんですけど、
すごく人生の勉強になりました。

数字の上では正解であっても、
そのタネでマジックを実演すると…
カードを引くお客さん(?)がAとCの箱に手を突っ込んだらカードが1枚しか入っていないことがバレます。
しかも1と100…
これは本当にマジックとして成立する回答なのか!?(笑)

更に!!!
この手のマジックは最初に箱の中をお客さんに見せるのがお約束だと思います。
1枚・98枚・1枚に分けられたカードを見せたら間違いなく失笑されますよね(笑)

でも!数字の上では正解!

想像でこうすれば良いと思っても
実際にやるとうまくいかないのってこういうところなんでしょうねぇ。

投稿: マミタソ | 2008年11月27日 (木) 17時50分

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