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2008年8月16日 (土)

■コマネチ大学数学科102講:花の東大生数学祭り(1)

 「ガスコン研究所」では、マス1グランプリや数学ワールドカップSPなどをカウントしているため、通算102講だが、番組では、祝100回記念の「たけしのコマ大数学科」。今回は「花の東大生数学祭り」だよ!

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 各馬ゲートイン。栃木の厩舎に勤めていたことがあるという、阿部定忠治の予想では、本命馬は、東大理三、秒殺シスターズのトウダイテイオー(衛藤樹)、対抗馬は、同じくスリーポイント(伊藤理恵)、おさえは、トマトインパクト(山田茜)、大穴は古馬、キムラキャップ(木村美紀)だ。さて、あなたなら、どの牝馬、どの騎手にかけるか?

 今回の「コマ大ダービー」、優勝者には、「コマ大数学クイーン」の称号が与えられる。最下位の者は、ジャージを着て、コマ大のロケを行うという罰ゲーム付き^^;

 問題は全5問、各問、早い者勝ちで、1位には100点、2位には90点、というように10点刻みで得点を与えられるが、制限時間内で正解できない場合は、0点とする。なお、マス北野とポヌさんは、エキビション参加とする。
 第1レースの問題は、「ひと筆書き」だ。「A」から「R」までをひと筆書きで結んでほしい。すべての通過ポイントを一度だけ通ること。同じ道を二度通ってはいけないが、すべての道を通る必要はない。通常、ひと筆書きのルールでは、交差する点を何度も通過してもいいが、ここでは、通過点を一度だけ通ることに注意。

問題1:ひと筆書き

【遊び方】道をクリックすると、赤く表示される。元に戻すときは、再度クリックする。「A」から「R」までのひと筆書きを完成させてほしい。

 いきなり、飛び出したのは、トウダイテイオー(衛藤樹)だが、不正解、早とちりをしたようだ。マス北野、ポヌさんも、残念ながら不正解。1位はスリーポイント(伊藤理恵)、2位はキムラキャップ(木村美紀)、3位はイコマライアン(生駒尚子)4位はリサウララ(小橋りさ)。あとは、タイムアウトで0点となった。

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 問題の解説。まず、道が2本しか接していない、通過ポイント「P」「M」「D」に着目。

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 この通過ポイントを通るためには、両側の道を必ず通ることになる。これを元に残りのルートを決定する。番組内での正解ルートは……。

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爺の解答

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 こちらのほうが、移動距離は短いはず。だから、いかに短い距離で目的地に到達するかという問題じゃ、ないんだってば^^;

《※追記:8月16日》
 録画した番組を見直してみたら、どうやら、番組視聴者に提示した問題と、実際に東大生らに配られた問題は、違うようだ。

 この問題だと、爺の解は存在しない。また、マス北野や衛藤樹が、どこを間違えたのかも推測できる。それは、「H」の通過ポイントを二度通ってしまう過ちだ。なぜ視聴者用の問題を変更したのか不明だが、たぶん、視聴者も同じようにこの部分でひっかかると思ったからなのかな……。しかし、問題を変更したため、元々の問題には存在しなかった、爺の解答のような経路も出来てしまった。
《追記おわり》

 続けて第2レースは、正六角形の枠に玉を隙間なく並べたとき、六角形の周囲の玉の数が138個のとき、玉は全部でいくつあるか? という問題。

第2問:六角形

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 さすが「秒殺シスターズ」の衛藤樹、瞬時にこの問題を解き、1位通過。2位は「悩殺シスターズ」の小橋りさ、3位は同じく、生駒尚子が続く。木村美紀が気迫で4位通過。この時点で木村美紀、小橋りさ、生駒尚子が160点で並ぶという混戦模様。

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 この問題、爺は「数論入門(芹沢正三/著)」を読んで、習ったばかりだったので、ラッキー問題だった。

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 古代ギリシア人たちは、図形数というものに興味を抱いたようだ。三角形や四角形、五角形の頂点に置いた石をひとつずつ増やしていき、その図形の中の石の総数を数える。それが、三角数、四角数、五角数というわけ。この問題は六角数というわけね。

 で、中村亨センセによる、問題の解説。正六角形の場合は、真ん中の1個を除くと、小さな三角形が6個で構成されていることがわかる。この時点で三角数の求め方を知っていれば、「k=n(n+1)/2」なので、それが6個と、真ん中の1個を足すと、「k=n(n+1)*3+1」という計算式を導くことができる。この場合は「n=23」(138÷6=23)ね。

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 中村亨センセがすごいのは、三角数の説明などなしに、6個の三角形(図1)を3個の平行四辺形(図2)にしたことだ。これにより、三角数の辺の数(138÷6=23)と平行四辺形の長いほうの辺の数(三角形の辺の数+1)、つまり、「23×24×3+1」という、じつにスッキリした式を提示していること。その根底には「三角数」があるのだけれど、短い時間の中で「三角数」の説明を省くことができるわけ。

 第3レースは、「あみだくじ」の問題だ。「A~F」を逆順に並んだ「F~A」に正しくつなげるためには、どのように「あみだくじ」の横棒を追加すればよいか? という問題。

第3問:あみだくじ

【遊び方】縦線と縦線の間をクリックすると、横棒が引かれる。正解の上がり判定はしていないので、自分で正しい位置にたどり着けるか判断してほしい。

 で、「あみだくじ」に関しては、当、ガスコン研究所の過去記事「数学基礎:あみだくじ」を参照してほしい。要約すると、「あみだくじ」は、置換を行う。それが「あみだくじ」の横棒というわけだ。

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 上の「A~F」と、下の「F~A」を正しく対応するように線で結ぶ。その交点が「あみだくじ」の横棒に対応するわけ。線が交差する点を数えると15個ある。

 計算で求めるには、縦棒の数を「n」、横棒の数を「k」とおき、「k=(n*(n-1))/2」という式を立てる。「n」に「6」を代入すると、「k=(6*(6-1))/2」で、「k=15」。横棒の数は15本だ。

 問題として提出された「あみだくじ」には、すでに、8本の線が引かれているので、「15-8=7」、残り7本の横棒を追加すれば、「A~F」が正しく対応する「あみだくじ」を完成させることができる。横棒の位置は、たくさん考えられるけれど、爺の解答は以下の通り。

Z102_03c

 マス北野が1位で、この問題を解いたところで、時間切れ、正解も、次週送りとなった。

 第4問は「マッチ棒パズル」なのだが、来週までの宿題として、問題が提示された。「マッチ棒、3本、3本、5本で作った三角形を、マッチ棒4本を動かし、面積が3分の1の四角形を作れ!」という問題。類題としては、「マッチ棒、3本、4本、5本の三角形で、5本のマッチ棒を動かし、面積が3分の1の四角形を作れ!」というのがある。たぶん、解答もこれの応用ではないかと思われる。

 今回は、図版作成が多く、来週まで、ご勘弁を……><;

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※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト


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コメント

私は一筆書きを
AKF BDH EIN JCQ MLG OPR
と解いてはまりました…。

投稿: imo758 | 2009年4月13日 (月) 15時38分

imo758さん、コメントありがとうございます。

確かにAKF→BDH→EIN→JCQ→MLG→OPRとゆー経路も存在しますね^^; すべては、問題を改変したせい?

投稿: Gascon | 2009年4月18日 (土) 19時17分

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