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2008年8月 2日 (土)

■コマネチ大学数学科100講:白銀比

 夏まっさかりということで、夏といえば「セミ」、セミにはどんな種類がありますか?「アブラゼミ」「ミンミンゼミ」「進研ゼミ」コマ大ファイ、ファイ、ファイ! 思いきりコマ大のオープニングをパクってしまったが、「たけしのコマ大数学科」お題は「白銀比」。

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問題:コピー用紙を2回折って出来た四角形BCDFの面積を求めよ! ただし、辺BCの長さは10cmとする。

 「黄金比」は「1:1.618…」名刺やクレジットカードがこの縦横比になっていると言われるが、今回は「白銀比」、A4判やB5判などの雑誌や書籍、そしてコピー用紙がこの白銀比「1:√2」になっている。A4版の半分はA5版で、半分にしても縦横比が変わらないことが特徴だ。

コマ大数学研究会の検証

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 さて「白銀比」ということで、我らがコマ大数学研究会がロケに訪れたのが「スノーヴァ新横浜」。夏まっさかりだけど、「スノーボード始めました」みたく、1年中、ここだけはスノースポーツを楽しめる銀世界。白銀(しろがね)の上にロープを張って図形を描く。面積測定ロボット「MUHO-MATSU」も登場したが、かえって手間がかかってしまった。検証の結果「49.89cm2(四苦八苦)」となった。

マス北野の答え

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 マス北野は「白銀比」はもちろんのこと、大工さんの使う「曲尺(かねじゃく)、指矩(さしがね)とも言う」の使い方も知っていた。今回の問題は、いたるところに「1:√2」の比率が表れると踏んで、図の2つの面積の合計「75√2-50」という答えを出した。計算すると「約56」になる。
 ポヌさんの答えは「70.2」だったが、どういう計算をしたかは不明。

秒殺シスターズの答え

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 秒殺シスターズの伊藤理恵さん、後藤樹さんは、今回も秒殺で問題を解いた。まずは解法(1)だが、図の緑の部分の三角形と黄色の三角形は、折るとピタリと重なるので合同。オレンジの部分の三角形がはみ出すことになるが、この三角形は直角二等辺三角形。この一辺を「x」と置く。求める面積は、オレンジの直角二等辺三角形+黄色の直角三角形の面積だ。答えは「50平方cm」
 じつは、時間があまり「解法(2)もいっとく?」ってな感じで別の解法も試みた。コピー用紙の短辺を「x」、FCを「y」とし、三平方の定理から解く方法。説明は割愛させていただく。もちろん答えは「50平方cm」で同じになった。

中村亨センセの「美しき数学の時間」

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 中村亨センセの方法は、線分EDを延長し、同じく線分BCを延長した交点を「G」とした。オレンジの三角形は、「秒殺シスターズ」の説明どおり、直角二等辺三角形であることがわかっているが、コピー用紙の外に出来た三角形も、オレンジの三角形と合同であることがわかる。つまり、緑+オレンジの面積と黄色+黄色の面積は等しい。大きな三角形は、一辺が「10√2」の直角二等辺三角形なので、10√2×10√2=200の半分の半分。というわけで、求める面積は「50平方cm」

爺のあと出し解答

黄金比を連分数で表すと

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白銀比を連分数で表すと

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おあとがよろしいようで…。

20080718_06 たけしのコマ大数学科
DVD-BOX 第2期

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト


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