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2008年7月25日 (金)

■コマネチ大学数学科99講:自然数

 今回は、コマ大数学ワールドカップSPの覇者「ジョンフン」を迎えての「たけしのコマ大数学科」。収録は6月だったから、「ジョンフン」ファンの人は、さぞかし、放映日が待ち遠しかっただろう^^;

 問題:いくつかの連続する自然数の和が1000であるとき、この連続な自然数を求めよ!

初項と終項をダブルクリックして、キーボードから数値を入力してね。総和が「1000」になれば、正解。でも、答えは1通りとは限らないよ^^;

 コマ大数学研究会は、おもちゃ問屋「柴崎商店」で、ビー玉(200個入り1箱:300円)を買い求め、ビー玉を連続する自然数に分け、並べていく。これがちょうど1000個になれば、正解というわけだ(ビー玉を1000個並べると17メートルにもなるそうな)。検証時間、2時間51分で、答えは「198、199、200、201、202」

 マス北野は、「5、25、125」で割った数の前後に(n-1)/2個の数を並べる。

20080725_01

 しかし「125」の場合は、「8」を中心にして前後に62個ずつの数を並べると、初項がマイナスとなってしまい、自然数の範囲を超えてしまう。

20080725_02

 マス北野とポヌさんの、答えのフリップには、じつは、「5」と「25」の場合に加え、初項が「55」の場合も記載されていた。これは、ポヌさんが書き加えたもの。時間内では計算できなかったものの、ポヌさんは、もうひとつの解を得ていた。

 木村美紀は、自然数の個数が奇数の場合と偶数の場合で、場合分けして解を求めた。
 奇数の場合は、マス北野の答えと同じで、
200×5
40×25
8×125……これは、自然数の範囲を超える。
 偶数の場合は、1000÷16=62.5となり、
下図のようになる。

20080725_04

 ジョンフンは、初項を「x」、項数を「n」として、
n(2x+n-1)=2000
という式を立てた。

※爺の作ったFlashでは、初項を「a」、項数を「n」としているが、考え方は同じ。「1から100」までの数字をすべて足すといくつ? という問題に「ガウス」が即答した逸話のように、等差数列の和は、このように求めることができる。

 ジョンフンの式は、計算しやすいように両辺を2倍している。そして、「2000」を素因数分解する。素因数分解とは、言うまでもなく、素数でどんどん割っていくことね。

すると、2000=2×2×2×2×5×5×5
つまり、2000=2^4×5^3 というわけね。

項数(n)の値が取り得る範囲

20080725_05_2

 n(2x+n-1)=2000 という式から、初項「x」は自然数(0< x <1000)なので、(2<= n <=44)であることがわかる。(※初項(x)が「1000」では、連続しないので意味がない)。表の中から「n」の値が範囲を超えているものを除外する。

(n)の値を式に代入して、初項(x)を求める

20080725_06_2

 ジョンフンは式から「n」の取り得る範囲を絞り込んだが、「n」の値を直接「n(2x+n-1)=2000」の式に代入して、「x」の値を調べてみれば一目瞭然だ。「x」は自然数なので、負の数や、小数になることがない。

 ここで竹内薫センセの「美しき数学の時間」。ジョンフンの説明と重なる部分も多いが、板書きをそのまま写しておく。

20080725_07_2

 コマネチ・フィールズ賞は文句なしに「ジョンフン」が獲得した。


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コメント

>(※初項(x)が「1」や「1000」では、連続しないので意味がない)。

とありますが、「xが1なら連続しない」というところがよくわかりません…。
(xが1000なら1項で済んでしまうので連続しない、というのはもちろんわかります)

投稿: giza | 2008年9月18日 (木) 14時03分

gizaさん、コメントありがとうございます。

完全に爺の間違いです。取り消し線を入れると、記事が読みにくくなるので、該当箇所を修正しておきます。

《修正箇所》
自然数(1< x < 1000) → 自然数(0< x < 1000)
(※初項(x)が「1」や「1000」では、連続しないので意味がない) → (※初項(x)が「1000」では、連続しないので意味がない)

投稿: Gascon | 2008年9月18日 (木) 14時58分

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