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2008年7月18日 (金)

■コマネチ大学数学科98講:正方形

 今回のテーマは「正方形」ということで、「正に包茎」(マス北野・談)でも、「谷啓」(コマ大生)でもない「たけしのコマ大数学科」だよ。がちょ~~~ん!

問題:4×4のマス目にマッチ棒が並べてある。すべての正方形を崩すには、最低何本のマッチ棒を取り除く必要があるか?

【遊び方】マッチ棒をクリックすると、マッチ棒が取り除かれ、取り除いた本数がカウントされる。いかに少ない本数で、すべての正方形を崩すことができるかを競う。

 コマ大数学研究会は、「泰平木材」の全面協力により、角材を使っての検証。試行錯誤の3時間20分の検証により、出た答えが「9本」

コマ大数学研究会の答え

20080718_01

 小橋りささん、生駒尚子さんの東大「悩殺シスターズ」は、あくまで論理の力で解こうとする。図の中に1辺1の正方形は16個、1辺2の正方形は9個、1辺3の正方形は4個、そして1辺4の正方形が1個で、合計30個の正方形がある。正方形を崩すには長方形にすればよいということで、いちばん小さな1辺1の正方形の仕切りを取り除き、長方形にすると、8本が必要。この状態で、真中に1辺2の正方形と、外周の1辺4の大きな正方形が2つ残る。下図を参照。

東大生の答え(途中経過)

20080718_02

 この真中の正方形と大きな正方形を崩すには、あと2本必要なので、8本+2本で、合計10本という答え。

 なんらかの法則性がないかということで、1辺1の正方形を崩すには、そのうちの1本を取り除けばいい。1辺2の正方形の場合は、3本取り除く必要がある。さらに1辺が4の正方形の場合は、6本ということで、
1辺が1の正方形、1本
1辺が2の正方形、(1+2)=3本
1辺が3の正方形、(1+2+3)=6本
よって、1辺が4の正方形の場合は、
(1+2+3+4)で10本になると考えた。

 マス北野は、実際にマッチ棒を使って検証。いったん、マッチ棒を取り除き、正方形を崩したあと、さらにマッチ棒が置くことができる場所がないかを検証した。つまり、マッチ棒を最大限に使って、正方形を作らない方法だ。答えは、コマ大生と同じ9本となった。

マス北野&ポヌさんの答え

20080718_03

(※コマ大生の答えの鏡像)

ちなみに、爺はこんな形を考えた

20080718_04

点線のマッチ棒を取ることで、最小の正方形と、中心の1辺が2の正方形の2つの正方形を同時に崩すことができることが、わかってもらえると思う(※2009年5月18日追記:3×3の正方形が残っているので間違い><;)。

中村亨センセの「美しき数学の時間」
 最小の正方形を「単位正方形」とすると、16個の単位正方形は、隣合う単位正方形の仕切りを取り除けば、8個の長方形になる。で、外側の正方形を崩すのに、さらに1本必要になる。東大生の考えた、真ん中の1辺2の正方形を崩すのには、じつは、単位正方形を長方形にするときに共有できるのだ(1本を取り除くことで、2つの正方形を崩すことができる)。

20080718_05

1辺のマッチ棒の数を(n)とすると、
消す本数=ROUND(n^2/2,0)+1 (n>=2)
で求めることができる。
エクセルの場合、「ROUND」関数は、(n^2)が奇数のとき、2で割ると、小数点以下が「5」になるので、四捨五入する。「CEILING」関数も、基準値(この場合は整数)に切り上げる点では同じ働きをする。

「たけしのコマ大数学科」のDVD第2弾が発売されたみたいだ。

20080718_06 たけしのコマ大数学科
DVD-BOX 第2期

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト


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コメント

はじめまして。
いきなりですみませんが、お爺さんの回答だと、3*3の正方形が残っていますね。

投稿: おかしん | 2009年5月15日 (金) 00時33分

おかしんさん、間違いの指摘ありがとうございます。

うう、なんで気がつかなかったんだろう><;

今さら、修正するのも面倒なので、このまま恥をさらしておきます;;

投稿: Gascon | 2009年5月18日 (月) 08時10分

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