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2008年7月11日 (金)

■コマネチ大学数学科97講:回転

 家族でゴルフを楽しんだというハイソな生活をしている衛藤樹さんと、東大VS京大のバスケの試合に出場したという伊藤理恵さん、今回は「秒殺シスターズ」を迎えての「たけしのコマ大数学科」

問題:同じ大きさの円4つの周りを同じ大きさの円が滑ることなく1周するとき、周りを回る円は何回転するか?

 今回のFlashは「モーションガイド」に沿って動かせば簡単……と作り始めたが、回転の指定に「整数」しか使えないことが判明。結局、スクリプトを書くハメになった><;

 コマ大数学研究会は、4つのドラム管を並べ、同じ大きさのもう1つのドラム管に「ラート師匠」(無法松)が入り、それを周に沿って回していく作戦。「ラート師匠」のヘルメットには電灯がついていて、上からコマ撮りすると、軌跡もわかる寸法だ。検証の結果、コマ大数学研究会の答えは「3と2/3ラート」
日本ラート協会ホームページ

 ガダルカナル・タカの「Fit via vi(道は力によって生じる)」の掛け声で対決がスタートするや、いなや、東大理三「秒殺シスターズ」の衛藤樹さん、伊藤理恵さんは、答えを書き込んだ。

20080711_01

 それぞれ移動する角度から、回転数は(2/3)+(1/6)+(1/2)+(1/2)で、答えは「11/6回転」

 マス北野は、同じ大きさの円の周に沿って、回転すると、1周で2回転することに気付いていた。しかし、作図で失敗し、角度計算を誤ってしまった。結局、マス北野&ポヌさんチームの答えは「3と5/6回転」

 正解は「3と2/3回転」で、コマ大数学研究会のみが正解した。「秒殺シスターズ」は、答えに自信を持っていただけに、まさに青天の霹靂。角度の計算は合っていたが、円周に沿って回転すると、1周で2回転することに気付かなかった。

 竹内薫センセの「美しき数学の時間」

 まず、平面上を転がる場合は、1回転すると「2π」(円周)ぶんだけ進む。つまり、円の中心が移動した距離となる。同じ大きさの円が2つの場合、どちらの円も回転すると、互いに1回転すれば、元の位置に戻る。しかし、片方の円が固定されていて、その円周上を動く場合、1周すると、外側の円は2回転する。円の中心が移動する距離も、半径が倍となるので、「2π」ではなく「2π×2」となるわけだ。

※追記:7月15日/
 東大生も間違えたくらいだから、なぜ、同じ大きさの円(円周が同じ)で、ギアのように「1:1」で回転しているのに、なぜ2回転するのか、腑に落ちない人もいるかもしれない。エラそうなことを言っているが、じつは私もリアルタイムで番組を見ていて、みごとにひっかかり、「11/6回転」という答えを出し、満足していた、ひとりだ><; そこで、少し説明を補足する。東大生が反省の弁で述べたように「検証は大事」である。

 外接する円が、中心にある円に対して動かないとする。つまり、中心の円から見ると、外接する円の接地点は動かない。それでも、中心円の円周に沿って進むだけで、傍から見れば1回転している。とゆーか、外接円の「▼」の地点で中心円を観測している人がいたとすると、中心円が1回転しているように見える。月の自転数と公転数がともに「1」であるため、月は地球に対し、たえず、同じ面を見せているのと同じだ。この固定を解除して、中心円と外接する円がギアのように円周に沿って滑らず回転すると、中心円から見れば、外接円は1回転しかしていないが、傍から見れば、外接円は「1+1」で2回転していることがわかってもらえると思う。
/追記おわり。

 今週の美しき数学のトリビア(ちょっといい話)は、「宇宙エレベータ」の話だった。地球の上空、3万6000Kmの静止軌道に「ジオ・ステーション」を建設し、地球上の「アース・ポート」とをケーブルで結ぶ。ケーブルは、「ジオ・ステーション」から、地球とは反対側に10万Kmぶん伸ばす。そうすることで、ケーブルの重みは相殺されると言う。

 地球から「ジオ・ステーション」に行くには、そのケーブルを辿って「エレベータ」のように登っていくわけ。エレベータの速度を時速200Kmとすると、1週間ちょっと(7.5日)で「ジオ・ステーション」に到着する。

JSEA 日本 宇宙エレベーター協会

20080711_book01 宇宙旅行はエレベーターで
ブラッドリー・C・エドワーズ/著
フィリップ・レーガン/著
関根 光宏/翻訳
ランダムハウス講談社

20080711_book02 宇宙エレベーター
アニリール・セルカン/著
大和書房

20080711_book03 楽園の泉
アーサー・C・クラーク/著
山高 昭 /訳
ハヤカワ文庫SF

※宇宙エレベータを扱ったSF小説

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト


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コメント

久しぶりに書き込みをします。
 24日の深夜0時半頃に岩手県を中心に地震がありましたが皆様のところはいかがだったでしょうか。
 かく言う私もわずかながら被害を受けました。その被害は「コマ大の放送が地震情報で無くなった」ということです。今回はこのページの「回転」がテーマの回でした。
 仕方なくこちらに書かれている問題を見て自力で解いてみました。そしたら見事に正解を導くことができました。もしかしたらテレビを見ないで解く方が集中するのかな?コマ大の活躍を見たかったです(放送日変更はないかな…)
 おそらく皆さんの所でも地震情報でコマ大の放送が無くなったと思われます。

投稿: 藤崎竜也 | 2008年7月24日 (木) 11時38分

藤崎さん、地震情報によって「たけしのコマ大数学科」の番組を見ることができなかったのは、ご愁傷さまですが、大きな災難に遭わなくて幸いでしたね。

てゆーか、藤崎さんのところは「テレビ西日本」ですね。さすがに九州・福岡までは、地震波は到達しなかったかも。私の住んでいる関東はかなり揺れを感じたので、完全に酔っぱらいながら「地震情報」を見てました。

投稿: Gascon | 2008年7月25日 (金) 21時13分

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たけしのコマ大数学科#96 (旧名称・たけしのコマネチ大学数学科) フジテレビ 2008年7月10日 深夜OA 今回のテーマは、 「回転」   DVDBOX第2期発売:2008年07月16日   【New!! DVD】 たけしのコマ大数学科 DVDBOX 1 ¥5,284 【New!! DVD】 たけし... [続きを読む]

受信: 2008年7月11日 (金) 23時39分

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