« ■海外ドラマ:Dr.HOUSE | トップページ | ■書籍:文系のための数学教室 »

2008年7月 4日 (金)

■コマネチ大学数学科96講:「21」

 テレビCMは、企業や商品のイメージを高めるのが目的だと思うが、和田アキ子と島田紳介の「リーブ21」のCMは逆効果。胡散臭く感じるのは私だけ?「たけしのコマ大数学科」今回のお題は「21」。「リーブ21」とは、まったくカンケーないよ。

問題:隣り合う数字を足して、1から21までの数を作ることができるような、数珠つなぎの5つの数字を答えよ!

【遊び方】○の中をダブルクリック、または「Tab」キーで移動して、直接キーボードから数字を入力する。たとえば、1から5までの数字を割り当てた初期状態では、1~15の数を作ることができる。図のまわりの1~21のすべてが点灯すれば正解。

 コマ大数学研究会は、どーゆーわけか、空き缶拾いから始める。拾い集めた空き缶をカゴに入れ、カゴには、数字が振ってある。隣り合うカゴから数字ぶんの空き缶を取り出し、空き缶を積み上げて、要は、1~21までの空き缶の棒グラフが出来上がれば、完成(正解)という寸法だ。

 マス北野&ポヌさんチーム、東大「野望メラメラ・シスターズ」の木村美紀、岡本麻希さんチームも、なかなか決定打がなく、あれこれ、数字を入れて検証。それにしても、岡本麻希さんのビジュアル的変わりようは驚きのひと言。彼女の「大学卒業後、アナウンサーになり、有名になって、政治家を目指す」という野望は、かなり本気モードかも……?? 政治家になって何をしたいのかは不明だが……。

 コマ大数学研究会は、検証時間5時間52分で「正解」、マス北野&ポヌさんチームも、今回はポヌさんのひらめきで正解、東大「野望メラメラ・シスターズ」も正解だった。

 中村亨センセの「美しき数学の時間」にいく前に、爺の発想。サイコロの1~6までの数字を全部足すと「21」になる。「1+2+3+4+5+6=21」なわけ。でも、数字は5個しか使っていけない。そこで、「4」は「3+1」、「6」は「5+1」で作ることができるので、「4」と「6」を足し合わせて「10」にしてしまう。ここから「1」の両隣は「3」と「5」が位置することも、推測できる。

 さて、おまたせ、中村亨センセの「美しき数学の時間」。問題文の中には「同じ数字を使ってはいけない」という記述はない。しかし、数字が1個の場合は5通り、数字が2個の場合も、隣り合う数字を足すので、5通り、3個の場合、4個の場合も同様で5通り、そして、5個の数字を足すのは1通り。つまり、数字の組み合わせは、「5+5+5+5+1」で21通り。1~21の数を作らねばならないので、数字の重複はあり得ない。

 そうなると「1」と「2」は、必須条件。必ず、数字の中に含まれることになる。そこで「1+2+a+b+c=21」(ただし、a<b<c)という式を考えると、「a+b+c=18」であることがわかる。「a」の取りうる値は、すでに「1」「2」を使っているので、最小の場合でも「3」と「4」、最大で「5」だ。なぜなら、「a」が「6」なら「6+7+8=19」で条件を満たさない。

 可能性のある数字を抜き出すと、
[1,2,3,4,11]
[1,2,3,5,10]
[1,2,3,6,9]
[1,2,3,7,8]
[1,2,4,5,9]
[1,2,4,6,8]
[1,2,5,6,7]←「4」が作れない;;
 とゆーわけで、6通りの候補を条件に当てはめて考えると、必然的に「1,2,3,5,10」の組み合わせが残る。

 あとは、それぞれの数字の配置を考えるだけだ。

 それでは、今週の「数学の泉」(トレビア)。正方形を異なった正方形で埋め尽くすとき、正方形の最小の数は……「21」

20080704_01

Wikipedia「ルジンの問題
正方形を異なった正方形で埋め尽くす最小の数は「21」個と証明されている。

 それでは、長方形を正方形で埋め尽くす場合は?

20080704_02

(出典:小島寛之・著「文系のための数学教室」)

 長方形の場合の最小解は、9個の異なる正方形で敷き詰めることができることが証明されている。

 「背理法」で証明するのだけれど、その重要なカギとなるのが「推移率」だと小島寛之センセは言う。推移率とは、a>b, b>cが成り立つなら、a>cが成り立つということ。不等式のもっとも基本となる性質だ。

 そういえば、ちゃんと「文系のための数学教室」のレビュー記事を書いていないことを、今さらながら、気がついた><;(※本来の目的を忘れた記事「Flash:Matrixで3D棒グラフ」参照)。

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
コマネチ大学数学科:2006年度全講義リスト
コマネチ大学数学科:2007年度全講義リスト


|

« ■海外ドラマ:Dr.HOUSE | トップページ | ■書籍:文系のための数学教室 »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)


コメントは記事投稿者が公開するまで表示されません。



トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.f.cocolog-nifty.com/t/trackback/99648/22070065

この記事へのトラックバック一覧です: ■コマネチ大学数学科96講:「21」:

» たけしのコマ大数学科#95 [シャブリの気になったもの]
たけしのコマ大数学科#95 (旧名称・たけしのコマネチ大学数学科) フジテレビ 2008年7月3日 深夜OA   今回のテーマは、 「21」   DVDBOX第2期発売:2008年07月16日   【New!! DVD】 たけしのコマ大 数学科DVDBOX 1 ¥5,284 【New!! DV... [続きを読む]

受信: 2008年7月 6日 (日) 12時19分

« ■海外ドラマ:Dr.HOUSE | トップページ | ■書籍:文系のための数学教室 »