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2008年6月 6日 (金)

■コマネチ大学数学科92講:トランプ

東大理科三類の「秒殺シスターズ」(衛藤樹さん、伊藤理恵さん)に対し、今回は「悩殺シスターズ」の小橋りささん、生駒尚子さん迎えての「たけしのコマ大数学科」。てゆーか、いつのまにか、チーム名が決まったみたいだ^^;

問題:同じマークのトランプ13枚をよく切り、1枚ずつめくって、左から右へ並べていく。めくったカードが、左側に置いたカードより、小さいときは捨てる。並べ終わったとき、「7」のカードが残っている確率を求めよ。

コマ大数学研究会のように、1000回も検証データを積み上げなくとも、何回か、上のFlashで遊んでみると、「7」のカードが結果として残る、条件が見えてくると思う。

問題では「並べ終わったとき」とあるが、中村亨センセのヒント「[7]が残る場合を考える」。カードを終りまですべて並べなくても、[7]を置くことができたら、[7]は最後まで残るので成立。逆に[7]より、大きい数が出現した時点で、それより、小さい数は置けないので、当然、[7]は捨てられてしまうことになり不成立だ。

コマ大数学研究会は、「トランプ」といえば、マジックというわけで、「港マジック同好会」の力も借り、総勢13名で検証開始。ところが、老人ホームへの慰問があるとかで、アマチュアマジシャンたちは、途中でいなくなり、結局、いつもの4人で検証続行。検証時間6時間16分ということだが、今回の検証にそんなに時間かかるの? 答えは「166/1000」。

「悩殺シスターズ」小橋りささん、生駒尚子さんの答えは「6/13」。カードを捨てる、残すにかかわらず、13枚すべてを並べた状態で考えたが、うまく、まとめることができなかった。確率「6/13」とゆーことは、2回に1回は、成立してもおかしくない。感覚的にも「それは、おかしい」と感じるだろう。

マス北野&ポヌさんコンビの答えは「1/7」。マス北野によると「[1]~[6]までは考えなくてよい」と言う。そして、[7]より、大きい[8]~[13]のカードが出た時点で不成立なので、[7]~[13]の7枚のカードのうち、[7]が最初に出現する確率は「1/7」という、じつに簡単でスッキリした説明だ。

中村亨センセの「美しき数学の時間」。もちろん正解は「1/7」。その解説も、マス北野の言う通り。念のため、すべての可能性を列挙した、難しい確率計算でも「1/7」になることを証明。というわけで、コマネチ・フィールズ賞は、マス北野&ポヌさんが獲得。

ここで「ちょっといい話」。トランプを左右から交互にパラパラと重ね合わせてシャッフルする「リフル」を7回行っても、まだ不十分で、8回で完全なランダムになる、という研究をアメリカの数学者「パーシ・ダイアコニス」(1945~)が発表しているらしい。

この「ダイアコニス」という人は、変わった経歴の持ち主で、14歳で家出し、マジシャンとして全国を巡業。しかし、24歳でニューヨーク市立大学の夜間部に入り、26歳でハーバード大学大学院統計学専攻に入るのだけれど、これには、あのパズルの大家「マーチン・ガードナー」の推薦状があったからだという。現在は、現在スタンフォード大数学科及び統計学科教授で、専門は統計学、群論、数論とのこと。

Persi Diaconis
http://stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/index.html


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