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2008年4月25日 (金)

■コマネチ大学数学科86講:等積分割

ガソリンの暫定税率、道路特定財源で揺れる「ねじれ国会」。総選挙で民主党が政権をとれず、自民+公明でも議席の2/3をとれない場合、政権再編が噂されている。いわば「党籍分割……?」福田総理よりも、爺は苦しい立場に追い込まれたが「たけしのコマ大数学科」は「等積分割」なのら。

問題:一辺100mの正三角形の土地を面積で二等分したい。このとき、分割する線の最短の長さを求めよ。

正三角形の頂点から垂線で分割すると「50√3」になるが、いくらなんでも、それでは問題にならない。もっと短い分割方法があるはずだ。上のFlashで、まずは、コマ大数学研究会と同じ方法で確かめてみよう。

コマ大数学研究会は、ゴルフ場で球拾いをし、集めたゴルフボールを2色に分け、ビリヤードのラック(最初に球をセットするときの三角形の枠)を大きくしたような木の枠(たぶん、1辺が1メートル)の中に色違いのボールを同じ数だけ、並べて詰めていく。きっちり詰めることができたとしても、ボールの大きさ分の誤差は出てきてしまう。

上のFlashも同じ。ゴルフボールが画素(ピクセル)単位になっただけで、いくぶん誤差は少なくなるが、きっちりとした数値は得られない。

爺は、ズルをして「エクセル」の「ゴールシーク」を使って答えを出した^^;

20080425_01
20080425_02

「セルB2」は、「=SQRT(3)*(A2/2)」としているところがポイント^^;

マス北野は、コマ大生のVTRを見て「どう考えても、最短距離は、直線じゃねぇのか。でも、あやしいな……」とつぶやく。

コマ大生の答えは、検証の結果「71.8m」。上のFlashでも、スライドバーをピクセル単位で動かしているので、面積を等しくできない;;近似値は「70.83m」

マス北野は、フリップに「70.82よりは短い」としながらも、出した答えは「72m」と逆に増えてしまった。ところが、中村亨センセに「これは、なんですか?」と指摘され、思考過程の中で、正三角形を並べて正六角形にし、円で分割する図を描いていた。

さて、今回は、新学期の2講目で、前回の衛藤樹さん、伊藤理恵さんの現役東大理Ⅲコンビに代わり、小橋りささん(東大理Ⅰの2年生)と、生駒尚子さん(東大文Ⅱの2年生)の新入生が登場。

小橋りささん、生駒尚子さんの「A型しし座」コンビの答えは、まず、直線で分割する場合は、相似比を利用して「50√2」。

数学落ちこぼれの爺には、最初、この「50√2」が、どこから出てきたのか、わからなかった><; 説明のときのホワイトボードにも、計算式は「100×√(1/2)」のみで、番組内でも「つまり東大生は、まず、分割線が直線の場合、この相似で分ける分割線が一番短いということを計算して求めたのです」というナレーションで端折ってしまっていたからだ。

代わりにもう少し丁寧に説明すると「相似な図形の面積の比は、辺の長さの比の平方数になる」ということらしい。三角形の面積の求め方は「底辺×高さ÷2」だが、正三角形の面積は「(辺×辺×√3)÷4」でも、求めることができる。つまり、分割した正三角形(相似)の辺の長さを「X」とすると、
(X * X *SQRT(3))/4 : (100 * 100 *SQRT(3))/4 = 1:2
「*SQRT(3)/4」の部分は共通で消えちゃうから、
(X * X):(100 * 100) = 1:2
(X * X)=(10000/2) ※面積比が半分
(X * X)=(2500 * 2)
X = 50 * √2

そして、うすうす気がついていると思うけど、分割線が曲線(円弧)の場合も、東大生は答えを出した。

20080425_03

「ルートの中に、またルート…」(ガダルカナル・タカ談)

説明は、「美しき数学の時間」で中村亨センセにしてもらおう。

20080425_04

中村亨センセの正解は「67.33」。でも、「π」や平方根を含んでいるので、どこで数値を丸めたかが誤差の範囲になる。んで、「67.3~67.5」の範囲なら正解だ。基本的に東大生の答えも、数式を整理すれば、中村亨センセと同じで、充分に誤差範囲だ。コマネチ・フィールズ賞の獲得も当然だよね。

ところで、中村亨センセ、誤差範囲をもう少し広げてくれませんか;; 爺の作ったFlashでは、「67.262~67.64」の間が誤差の限界なんですけど><; でも、冒頭のFlash(直線の場合)よりも、短くなったことは、確かだ^^;

≪今回制作したFlashのダウンロード≫
comaneci86.zip

今回の問題の出典元が、芦ヶ原伸之氏の「超々難問数理パズル」ということで、爺も、さっそく、Amazonで注文した。おもしろい問題があったら、何かの機会に紹介したいと思う。で、芦ヶ原伸之氏は、すでにお亡くなりになられているんですよね。爺の不明ながら、氏の本をこれまで読んでおらず、「コマネチ大学」によって、出会えたという感じ。ご冥福を祈りつつ、「数学は永久に不滅です!」

yoshigahara_01

超々難問数理パズル
―解けるものなら解いてごらん

著者/芦ヶ原伸之
講談社ブルーバックス
840円 (税込)


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コメント

 今回はきちんと正解を出すことができました…というよりか、この問題は知っていました。ちょっと卑怯ですね。
 ところで今回の問題の出典の作者である芦ヶ原伸之氏は日本を代表するパズルコレクターとして有名でした。パズルに詳しくない人でもテレビ番組「マジカル頭脳パワー」に問題を提供したり、最近では「キャストパズル」というごっつい知恵の輪の監修をしたことでも知られています。
 本を読んだ感想など、この場で書いていただけたらありがたく思います。

投稿: 藤崎竜也 | 2008年5月10日 (土) 08時34分

藤崎さん、コメントありがとうございます。

芦ヶ原伸之氏の「超々難問数理パズル」と一緒に同じブルーバックスで刊行されていた「脳を鍛える数理パズル」(デイビッド・ウエルズ著/芦ヶ原伸之監訳)もamazonに注文し、届いています。

積読で、なかなか読むヒマがない;;

でも、ちょっとした気晴らしにパラパラとめくり、楽しんでいます。こーゆー本は、急がずに、「スルメ」のように噛みしめながら、味わいつくすのが良いようです。

投稿: Gascon | 2008年5月12日 (月) 11時08分

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