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2008年3月 7日 (金)

■コマネチ大学数学科82講:フーリエ

 地球温暖化の対策として、石炭や石油などの化石燃料から、バイオマス燃料への転換が進められているけれど、それは「Fuel」転換? 意味なく、雰囲気だけで進めるけれど「たけしのコマネチ大学数学科」第82講は「フーリエ」だ。

 問題:ピラミッド状の5段の積み木がある。最下段には1桁の異なった1~9の数字が入る。隣り合う2つの数の和を上の段に記入していき、最上段の数が100になるとき、最下段の数の和は最小でいくつになるか?

【遊び方】最下段の5つの数を上下の矢印をクリックして設定し、最上段の数が100になるようにする。最上段が100のとき、最下段の数の和が答えとなる。

 コマ大数学研究会は、シャンペンタワーを模し、量が測れるようにメスシリンダーのタワーを作った。5種類の液体を注ぎ、ちょうど100mlのカクテルを作る。調合の具合は「2,4,7,8,9」で、答えは「30」となった。

 フーリエはフランス出身の数学者。いっぽう、マス北野は浅草「フランス座」出身ということで、負けてはいられないところ。計算では「25」となったが、それを消して「30」と書いた。

 木村美紀さん、松江由紀子さんの東大生チームの答えは「4,1,9,8,6」で総和は「28」となった。

 中村亨センセの「美しき数学の時間」。

 マス北野も、東大生チームも上の図のような計算式を立て、問題を解いたのだが、どこにどの数字を当てはめるかが、ポイントになる。

 使用数字が[7]以下だと、いちばん多く加算する[c]に[7]を使用しても、最上段は100に届かない。必ず使用数字に[8]か[9]が含まれる。そこで、[c]に[8]または[9]を当てはめて考えてみる。

 最下段で使われる数の和を最小にするには、[c]を[9]にするのが有力だと思われる。
(6c)=54
4(b+d)+(a+e)=100-54=46
(b+d)を11とすると、(a+e)が2となり不可能。
(b+d)を10とすると、46-4(b+d)=(a+e)=6
(b+d)+(a+e)+(c)=10+6+9=25

 だが[c]に[8]を使ったときは、どーなるかというと、
(6c)=48
4(b+d)+(a+e)=100-48=52
(b+d)を13とすると、(a+e)が0となり不可能。
(b+d)を12とすると、52-4(b+d)=(a+e)=6
(b+d)+(a+e)+(c)=12+6+8=24
というわけで、最小和になる答えは「24」
たとえば「1,5,8,7,3」となる数の組み合わせだ。

 ところで、今回の問題とフーリエは、どんな関係があるの? 「ピラミッド」といえば「エジプト」、「エジプト」は「暑い」、「暑い」は「熱」、「熱」とくれば「フーリエ」……って、ぜんぜんわからない><;

 ジョゼフ・フーリエ(1768年~1830年)は、ちょうどフランス革命の頃の人で、1790年に教師になるが、1793年、革命委員会に入り、逮捕、釈放を繰り返す。1798年には、ナポレオンと共にエジプトへ。1801年、フランスへ帰り、グルノーブル地方のイーゼル県知事になる。この間に「エジプト記」を編纂する。考古学の分野でもかなり有名だそうな。

 しかし、なんといっても、「フーリエ」といえば、熱伝導方程式やフーリエの法則、三角関数の級数で表したフーリエ展開、フーリエ変換だよね。といいながら、詳しくは知らない^^;

 コマ大生の答え「2,4,7,8,9」が、じつは、全部足すと、100にならず、101になってしまうというオチがついた。メスシリンダーのふちぎりぎりまでカクテル(?)を注いだので、表面張力による誤差だったのかも……。もしくは、液体の場合、密度の違いで100cc+100ccが200ccにならないことってあるよね。実証こそ命で、検算しないところがコマ大生らしい^^;

≪今回制作したFlashのダウンロード≫
comaneci82.zip


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コメント

お久しぶりです。
 ここしばらく「ラグランジュ」「ハミルトン」と数学者の話が多く感じるのは私だけでしょうか。しかし彼らの話をテレビですることはめったにないことでしょうから、ありがたく感じます。
 私事ですが、今回の問題は見事正解を出したので浮かれておりました。こちらでも書いてある通り、今回の問題と「フーリエ」の直接の関係がないことは番組を見て4,5時間ぐらいたって気が付きました。
 まもなく番組のDVDが発売されるということですが、私は本自体も買っていません。まずは本を先に買おうと考えています。

投稿: 藤崎竜也 | 2008年3月19日 (水) 21時13分

1 4 9 7 1

または、

1 7 9 4 1

で和の合計が22になるがこれでいいの?
24より小さいけど・・・・・。

投稿: K.Knt | 2008年9月23日 (火) 02時07分

K.Kntさん、コメントありがとうです。

「最下段には1桁の異なった1~9の数字が入る」という条件なので、「1」を重複使用してはいけません^^;

投稿: Gascon | 2008年9月23日 (火) 10時31分

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受信: 2008年3月 8日 (土) 13時41分

» ピラミッドとフーリエ [knifeのblog]
前回のコマネチ大学数学科の問題     □    □ □   □ □ □  □ □ □ □ □ □ □ □ □ ピラミッド状の5段の積み木がある。最下段には1桁の異なった1~9の数字が入る。隣り合う2つの数の和を上の段に記入していき、最上段の数が100になるとき、最下段の数の和は最小でいくつになるか? 鏡像解も含めて、最下段の数列を和が... [続きを読む]

受信: 2008年3月16日 (日) 16時23分

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