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2007年11月24日 (土)

■「ゼロの誕生」再び

 以前のエントリで、木下眞二氏の考案した数学パズル「ゼロの誕生」を紹介した。そのとき、私のしたことは、4桁、5桁の整数の二乗をひとつひとつチェックして元の数と同じ桁数の「0」が含まれる数を抜き出したにすぎない(詳しくは過去記事を参照のこと)。木下眞二氏からは「数学文化(No.8 2007)」という本に「ゼロの誕生」の解説記事が掲載されていると教えていただいたものの、数学落ちこぼれの爺には、ちょっと難し過ぎる本というイメージが強く、敬遠していたんだよね。だいぶ日が経ってしまったけれど、アマゾンで取り寄せ、読んでみてた。

 数学文化(No.8 2007)の記事は、ある数を二乗したときに「0」が連続して68桁続くことを発見した、東京理科大学の後藤丈志氏が書いたもの。これを読んで「なるほど~」と唸ってしまった^^;

 (1.4)の二乗は(1.96)、(1.5)の二乗は(2.25)である。つまり「1.4<√2<1.5」と挟み込む範囲を狭くしていくことで√2の近似値を得ることができる。
/*引用
逆に考えると、√aの近似値を計算することによって(aの値によっては)解を見つけることができる。
*/

 それは、どんな場合かと言うと、「ゼロの誕生」のルールにある、「0」を含まない数であること。「9」が現れたら、ひとつ前の桁の数に1を加える。

例えば√20の場合
20071123_01
(※Maxiamでは、桁数を指定して数値を表示できる)
√20では4つの解を求めることができる。平方根の中に「0」が出現したら、それ以降は調べる必要がない。

 後藤丈志氏は「2≦ a ≦10^10」の数に対して調べたそうだ。この範囲において、もっとも長く「0」が出現しない数は、a=9464833330で、√aを十進表記すると、少数第213位にようやく「0」が現れるとのこと。

 この考え方で、私もFlashで挑戦しようかと思ったが、いかんせん、Flashの数値表現は倍精度なので、普通に平方根を表示すると、整数部分をふくめても、16桁くらいしか表示できない。その前に「長桁計算」の勉強から始めなければならないということで……;;

≪出典≫
数学文化(No.8 2007) 日本数学協会/編集 日本評論社

木下眞二のホームページ
http://www5f.biglobe.ne.jp/~kinosita/indexj.htm

≪おまけ≫
 ところで、みなさんは、平方根を手計算したことってあります? 私は、この歳になるまで「開平」のしくみさえ、知らなかった;; もしかしたら、習った のかも知れないけれど、記憶の片隅にも残っていない。そんなわけで、生まれてはじめて手計算で平方根を求めた……といっても、計算はFlashにまかせた (計算精度の問題で30桁までがやっとだ)。ホントの手計算なら、桁数はどこまでも計算できる。もっとも、計算の苦手な私は、ほんの数桁で頭がオーバーフローしてし まうけれど……;;

≪参考≫
さんすう・数学
http://www.hokuriku.ne.jp/fukiyo/math-mok/obenkyou.htm
「平均と平方根」に「開平」のしかたを、わかりやすく解説してくれている。

平方根の話
http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/sqrt.html
「開平」のほかにも、平方根の近似値の求め方が紹介されている。

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