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2007年11月 9日 (金)

■コマネチ大学数学科67講:円分割

 道路公団が分割民営化されても、いっこうに高速道路の料金は下がらないし、ガソリン値は高騰。物流コストは経済、物価への影響大だ。郵政三事業が分割民営化されたが、手数料が下がるどころか、何倍にも跳ね上がった。いったい何のための分割民営化なのだ。この憤懣をどこにぶつけたらいいの「たけしのコマネチ大学数学科」第67講は「円分割」。

問題:円を20個以上に分割するには、最低何本の直線が必要か?

 紙と鉛筆代わりのFlashを用意した。前エントリで線分の交差判定をズルしたが、いきなり、その線分交差判定が必要になった。いちおう、トライしてみたのだが、どうも、うまくいかない。理解するには、時間がかかりそうなので、とりあえず、分割数は自分で数えてね><;

追記(11月10日):分割数を表示した^^;

 関係のない話なのだが、童謡「ぞうさん」の作詞家と知られる「まど・みちお」さんは、2007年11月で98歳だが、白寿記念のCDが発売された。「ぞうさん」の替え歌「とうさん」も含まれている。なぜ、こんなことを書いているかと言うと、たまたま、テレビで見て、その人柄に好印象を得たからだ。ご自身曰く「まど・みちおといえば『ぞうさん』で、それしかないわけですけれど、自分自身を茶化してやろうと『とうさん』を作った」と。で、「まど・みちお」さんと言えば、「ぞうさん」だけでなく、「一ねんせいになったら」や「やぎさんゆうびん」、「ふしぎなポケット」など、誰しもが慣れ親しんでいる歌がある。「♪ポケットの中にはビスケットが……」ポケットを叩く度にビスケットの枚数が増えていくのだが、これをポケットを叩く度にビスケットが割れて、その破片の枚数が増えていくというふうに捉えると、今回の問題に共通する部分があるのかなぁ……と(夢がない発想だ><;)。私は、ホンダ製菓の「玄米小丸」というお煎餅が好きなのだが、食べ方には、私なりのこだわりがある。それは2枚ごとに袋分けされた「玄米小丸(Mサイズ)」を、まず、袋を手の平に乗せ、ポンと叩いて、いくつかの断片に粉砕する。そこで、おもむろに袋を開け、その扇型の断片のひとつひとつを食するわけ。これがうまい(爺臭い話は、もう、いい;;)。

 閑話休題。話を元に戻そう。円を分割する話だ。円に直線を1本引くと、2分割される。できるだけ少ない本数で最大の分割数を得るには、すでに引いた直線に交差するように新たな直線を引く。直線が2本で、円は4分割。3本目は、2本の直線に交差するように引くと、7分割される。

20071109_01

 コマ大生は、粘土でピザを作り、それを切り分ける方法で検証。ピザんが6(2×3=6)という定理で直線の数は6本と断定(ちょっと苦しい^^;)。

 マス北野は、上の表のように、直線の数と分割された領域数の増分の法則を見つけ「6本」という答えを出したが、一般式まで落とし込むことはできなかった。

 東大生チームも答えは「6本」。直線の数と領域数から漸化式を立て、一般化を行い、コマネチ・フィールズ賞を獲得した。線の数をn、最大分割数をa(n)とすると、
a(n)=1+(n^2/2)+(n/2)
これに線の数「6本」を代入すると、最大分割数は「22」になる。
式をもう少し整理すると、a(n)=n(n+1)/2+1と表すことができる。

 中村亨センセの「美しい数学の時間」では、オイラーの多面体の公式、V-E+F=2(頂点の数-辺の数+面の数=2)」を使っても解けることを紹介していた。

≪参考≫
■円の最大分割問題
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/253_circdiv.htm

■数学の部屋:円に関する問題3題
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/circle.htm

追記:11月10日
線分の交差判定については、まだ理解できてるとは言えないけれど、下記のサイトに掲載されているアルゴリズムを用いて実現することができた。感謝。

交差判定部分のソース

■ダウンロード(comaneci67.zip:9KB)
comaneci67.fla(Flash8)
comaneci67.swf
comaneci67.html

≪謝辞≫
■Visual Basic Library(トップページ)
http://www5d.biglobe.ne.jp/~tomoya03/
「もっと簡単に-線分交差判定-」のページ

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コマネチ大学 #66 たけしのコマネチ大学数学科#66  2007/11/08     今回のテーマは、 「円分割」     【定番本】 コマ大数学科 特別集中講座 ビートたけし ¥1,000 【New】 逆転発想力パズル 脳が目覚める 竹内薫 中村亨 ¥1,260 ・... [続きを読む]

受信: 2007年11月10日 (土) 13時26分

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