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2007年8月 3日 (金)

■黄金比と黄金角

 「黄金比」について、前エントリの補足。いきなり、高校講座の数学の問題。

20070803_01

問題:長方形ABCDにおいて、辺AD、BC上にAB=AE=BFとなるように点E,Fをとったところ、長方形ABCDと長方形CDEFが相似となった。AB=1としたとき、辺ADの長さを求めよ。

2つの長方形が相似であることから
1:(x-1)=x:1 内項と外項を掛け合わせると、x(x-1)=1 これを展開して、x^2-x-1=0 となる。因数分解できないので、2次方程式の解の公式を当てはめる。

20070803_02

というわけなのだが、この分割を繰り返して行うと、次のような図形になる。ここにフィボナッチ数列が現われるわけだ。

20070803_03

ところで「はじめての数式処理ソフト」のCD-ROMに収録されている「Maxima」では、フィボナッチ数列も簡単に求めることができる。
20070803_04
上の図の正方形の部分に4分円を描いていくと、貝殻のような渦巻きの曲線になる。

20070803_05

「黄金比」に対して「黄金角」というのもある。
20070803_06

黄金角を用いると、渦巻状に並ぶひまわりの種のような図形を描くことができる。

20070803_07

図形は、菱形のムービークリップをひとつ作成し、ActionScriptで配置したもの。360×360ピクセルの大きさで作成し、それを50%縮小している。

20070803_08

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