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2007年8月17日 (金)

■コマネチ大学数学科58講:論理学part2

 猛暑日が続き、脳ミソも沸騰しそうな今日、この頃、こんなに暑いと論理的な思考なんてできないっす「たけしのコマネチ大学数学科」第58講、論理学Part2。

問題:ビキニを着た女の子は何人いるか?

(※コマ大数学研究会のように50~60のパターンを作ることはできなかったす;; 条件は以下を参照)

条件1:ビキニかサングラスの一方のみを身につけている女の子は必ず麦わら帽子か、ビーチサンダルを身に着けている。どちらか一方のみを身につけている女の子はいない。

条件2:サングラス、麦わら帽子、ビーチサンダルのうち、1点のみを身につけているのが13人、2点を身に着けているのが9人、3点とも身につけているのが3人いた。

■コマ大数学研究会の答え「16人」
 それぞれ紙人形を50~60体作り、条件を満たさない人形を除外する方法で、ビキニ人形を数えた。みなさん絵心があり、ユニークな人形ばかりで楽しめた。

■マス北野の答え「16人」
 マス北野は、それぞれに着用を「○」、着用していないを「×」として表を作成した。

20070817_01

ビキニとどれか1点を身に着けているのが13人、ビキニと3点身に着けているのが3人で、合計すると16人。(ビキニ以外で2点着用しているのが9人になる)

■東大生チームの答え「16人」
 最初は「ベン図」で考えようとしたが、区分けが複雑になるので、文章による場合分けを列挙する方法に切り替えた。
条件1より、

20070817_02

条件2より、
1点着用 A+B+E=13
2点着用 C+D+G=9
3点着用 F=3
よって、ビキニの女の子は、A+B+E+F=16人。

■竹内薫センセの「美しき数学の時間」
 身に着けているものすべてに対し、着用を「1」、着用していないを「0」として、全パターンを表にする。ビキニ、サングラス、麦わら帽子、ビーチサンダル、それぞれに2通りのパターンがあるので、2^4で16通りの表になる。

20070817_03

灰色の部分は条件を満たしていないので除外。あとは、ビキニを着用している女の子を数えればいい。よって、16人ということになる。

 ところで、このような論理問題を考えるとき、集合関係を視覚的に図式化した「ベン図」を用いるとわかりやすい。東大生チームもまずは、図式化してみようと試みた。ところが部分集合の数が3つまでの「ベン図」は容易に考え付くが、部分集合がひとつ増えるとなかなか図式化することが難しい。じつは、こんな形になるらしい。

20070817_04

 それでは、竹内薫センセの「文章を数式にしてしまおう」という記号論理学の講義。たとえば、
「たけしのコマネチ大学数学科が高視聴率」を、pとする。
「○○は有名になる」を、qとする。
この命題が真のとき「1」、偽のとき「0」で表す。

20070817_05

 すると、「たけしのコマネチ大学数学科が高視聴率ならば、○○は有名だ」という文章は、(1-p)+q=1 という数式になる。この式にp=1(真)を代入すると、q=1(真)になる。

 このように「真」か「偽」を記号を使って表す論理学は、イギリスの数学者ジョージ・ブールが考案したことから「ブール代数」と呼ばれる。

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コメント

ガスコンさん、久し振りの投稿です。
コマ大のビデオを見て、ちょっと思考(Ponder)してから、必ずこのサイトに来ます。すると、誰よりも何よりも(下手したら番組のセンセよりも)すばらしい展開が見られます。もう、数学(もっと広く言えば、真理)に対する「愛智(まさにPhilosophy)」と言ってもよいのではないのでしょうか? それを感じるのです、このサイトは!

前回の等差数列上に連続する無限の素数が存在するというリンクはとても助かりました。ディリクレの素数定理の拡張版みたいで感動しました。
(あの種のプログラムは作れそうにないけれど、初等整数論のプログラムは今まで何本か作ってきました)

そして今回はビーチで飲み物を売るオヤジが素敵でした。「いいちこ」のロックも売っているのかな?
毎週このサイトは見ています。酒を飲みながらでも全然OKですから、これからも頑張ってください。(but ご自愛のほどを・・・)

投稿: でこちゃん | 2007年8月19日 (日) 02時20分

でこちゃん、おひさしぶです。
これは、いわゆる、ホメごろしというヤツですか^^;

論理的に考えてみると、
「コマネチ大学は面白い」……命題①(とゆーか、感想?)
「ガスコン研究所は、ときどき面白い」……命題②(とゆーか願望?)
結論、
「コマネチ大学」が面白いからと言って、「ガスコン研究所」が面白いとは限らない。
あるいは、
「コマネチ大学」が面白いとき、たまに「ガスコン研究所」も面白い。

……という感じでしょうか。あ~あ、やっぱり「いいちこ」な私;;(意味不明)

投稿: Gascon | 2007年8月19日 (日) 06時55分

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