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2007年6月 8日 (金)

■コマネチ大学数学科49講:ペアノ曲線

インターネットにすっかり依存している酔っ払い爺としては「事件は会議室で起きているんじゃない、ブログのあちこちで、同時多発的に起きているんだぁ!」と叫びたい気分だが、番組の収録と放映には、すごいドップラー効果を感じる「たけしのコマネチ大学数学科」第49講:ペアノ曲線。その理由は「お宮の松の“ボディビルコンテストへの道!”日記」を見てね^^;

問題:AからBまでの最短距離が12mのとき、AからBまでの最長距離は何mか? ただし、同じ道は一度しか通ることができない。

(※画面を一度クリックしてから、矢印キーで移動)

 問題は、最長距離を求めるものだが、実際に確かめてほしい。ちなみに最短距離は、畳全体の辺を辿ればいいので、12mとなる。

コマ大数学研究会は、畳ということで、吉田道場へ。畳べりを歩き、それが不正解だと、ゴールで待っている植村師範に投げられる。2時間41分、ひたすら投げられ続け、ついに「お宮の松」が正解。植村師範を投げ返した。

コマ大数学研究会は、もちろん正解。東大生チームも、マス北野も正解の「44m」という答えになった。しかし、どうしてそうなるのか、これが最長距離であることの証明はなかなか難しいようだ。

中村亨センセの「美しき数学の時間」では、いかに通らない道を選ぶかが重要と説く。A地点からB地点へ行くことは、この図形を一筆書きすることである。「ケーニヒスベルクの橋渡り」で述べたように、出発点と到着点以外に奇数点があると一筆書きできない。この場合、四隅以外はすべて奇数点(三叉路)になるので、来た方向を除くと、どちらか一方を選び、もう一方は通らないことになる。分岐点に来たときは、畳の長辺を選び、短辺を通らないという選択をしていくと最長ルートとなる。

つまり、三叉路では、どちらか一方は通らないので、すべての奇数点(30箇所)と出発点と到達点(2箇所)を足し、それを2で割った数になる。32÷2で16箇所。
畳の外周は「6m」、それが16畳で96m、畳全体の外周は、12×2で24m。外周以外は、(96-24)÷2(重複分)で36m。24m(外周)と36m(外周以外)を足すと60m、そこから通らない辺(1m)の数(16箇所)を引くと、60-16で、最長距離44mを求めることができる。

さて「ペアノ曲線」とは、正方形の中心をつなげていく一筆書きの線なのだが、正方形をどんどん分割してひとつひとつの正方形を小さくしていっても、一筆書きが可能であることを示している。究極の姿を考えると、1次元の線が2次元の平面を充填してしまう。

(※謝辞:画像は、下記のソフトウェアを使用させていただいた)

番組内で中村亨センセが使用していたと思われるソフトウェアは、以下のサイトからダウンロードできる(Windowsのみ)。

■わくわく数学(フリーウェアソフト)
作者:秋津 明宏氏

Math_room

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