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2007年5月 7日 (月)

■コマネチ大学数学科44講:論理学[補習]

「たけしのコマネチ大学数学科」第44講の「論理学」だけど、肝腎の記号論理学のことにまったく触れなかった。じつは、私は記号論理学(数理論理学)を習ったこともないので、たった3分間の竹内薫センセの「美しき数学の時間」では、なんのことか、ちんぷんかんぷんだった;;

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論理学を理解するために、有名な論理クイズ(?)の状況を考えてみよう。あなたが行く道がふたつに分かれている。天国と地獄の案内人が立っていて、天国の案内人は正直に答え、地獄の案内人は常に嘘をつくとする。ふたりは、見かけでは、どちらが正直者か、嘘つきかを判断することができない。しかし、どちらについていくかは、重要な決定なので、2分の1の確率に賭けるわけにはいかない。そこで、どちらか、一方に一度だけ(ひとつの質問だけ)、問いかけることができるとする。あなたなら、どんな問いかけをするだろうか?

問題の答えを言う前に竹内薫センセの「美しき数学の時間」の記号論理学の復習をしよう。竹内センセによると記号論理学を使うときの注意として「AまたはBが真」と言うとき、どちらか一方が真(TRUE)ならば、真(TRUE)になるのは、当然としても、両方が真でも真になるよということ。記号論理学で使う記号を復習。

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「AかつB」、「AまたはB」という概念は、プログラミングなどで使われる論理式では、こんな図がよく使われる。

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ちなみにエクセルで論理関数を使うとこんな感じになる。エクセルには「XOR」という論理関数はない。ここでは「=OR(AND(NOT(A2),B2),AND(A2,NOT(B2)))」のようにして実現した。なんのことかわからないと思う。これを記号で表すと、
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記号論理学の利点は、このように法則に従って命題を変形できること。たとえば「¬(¬P)=P」は、否定の否定はPそのもの。バカボンのパパみたいに「反対の反対なのだ」。ド・モルガンの法則は、「¬(P∨Q)=(¬P)∧(¬Q)」またはの否定は「且つ」。「¬(P∧Q)=(¬P)∨(¬Q)」且つの否定は「または」と変形できる。あと便利なのが「¬(P∧Q)=(¬P)∨(¬Q)」や「P∨(Q∧R)=(P∨Q)∧(P∨R)」のような分配の法則ね。

わかりずらいのは、「もし、~ならば」という条件である。例えば「初心者ならば、記号論理学は難しい」という命題があるとして、初心者を「P」、難しいを「Q」とすると「P⇒Q=¬P∨Q」が成り立つということだろう。つまり、「初心者でないならば、記号論理学は難しい」という命題も「真」になる。「初心者でなくても、記号論理学は難しい」という命題を否定できないからだろうか^^;また、たとえば、「信号機が青ならば、進め」という命題があるとき、「信号機が青でないならば、進め」も「真」になることになる。一般常識からは違和感を覚えるけれど、信号機が青でなくても、黄の点滅なら注意して進めとか、赤の点滅なら、一旦停止して進んでもよいと解釈すべきなのかな。

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おまたせした、冒頭の問題。地獄の案内人に「あなたは正直者か?」と聞いても、必ず嘘をつくので「はい」と答える。なので、天国へ続く道の方向を聞いてもホントか嘘かわからない。

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(※0:FALSE、1:TRUEの意味。枠に収まらないので簡略化した)

そこで、少し質問を工夫して「あなたは正直者で、かつ、天国は右か?」と尋ねる。論理積(AND)を取れば、どちらが天国かは判断できる。つまり「はい」と答えれば、その方向へ。「いいえ」と答えれば、逆の方向へ進めばよい。しかし、質問はひとつだけなのはずなのに、これでは、ふたつの質問をしたことになる。

正解は、どちらか片方の案内人に道を指差し、「あなたが来た方向はこちらか?」と尋ねるのだ。もし指し示した方向が天国ならば、天国の案内人は「はい」と答える。地獄の案内人は自分は地獄から来たので「いいえ」なのだが、必ず嘘をつくので「はい」と答える。もし指し示した方向が地獄ならば、天国の案内人は「いいえ」と正直に答え、地獄の案内人はホントのことなので、やはり「いいえ」と嘘をつく。

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どちらの場合も「はい」と答えたほう、あるいは「いいえ」の反対方向が天国への道となる。

記号論理学って、複雑な問題をより簡単にしたり、真偽がわからない問題を記号を使って論理的に解く学問なんだろうけど、根から論理的でない私には、性に合わないとゆーか、そのセンスがないと思う。かえって複雑になったような気がしないでもないこともないみたいな……><;わからない問題には、くよくよ考えずに「当たって砕けろ!」、「なんとかなるさ!」の精神だ。無謀すぎて、砕けっぱなし、酔っぱなし、腰砕けな現状にも困るけれど……;;

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