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2007年3月 9日 (金)

■数学オリンピック:つり銭問題

 昨日の「たけしのコマネチ大学数学科」は、特番が入り、休講だった。そこで、過去の「数学オリンピック」で出題された問題を考えてみたいと思う。

問題:一泊500円のホテルがあり、そこに500円玉を持った、n人の人と1000円札しか持っていない、n人の合計2n人の客を泊らせたい。ホテルの受付は受付開始時には、つり銭を準備していないとする。つり銭が不足しないような客の来かたは全部で何通りあるか。

 数学の問題は、時としてシュールだ。ホテルと名前はついているものの、一泊500円と格安。秋山仁センセのような風体をした日雇い労働者たちが、500円玉、あるいは1000円札を握り締め、その日の宿を求め、列をなしている光景を想像してしまう。百円玉や10円玉を握り締めている人がいないのは、なぜなのか……問題とは、まったく関係のない妄想が広がる。

 で、一般項(n)を求める問題は難しいので、とりあえず、500円玉を握り締めている人が5人、1000円札を握り締めている人が5人、総計10人で考えてみる。普通に考えると、500円玉(つり銭不要)の人と1000円札(つり銭必要)の人を2列に並ばせ、つり銭不要の人を優先して受け付ければ問題ないと思う。まあ、この問題は、これらの人たちが1列に並んでいると考える。この並び方が何通りあるかを考えるというものだ。最初のお客は、当然、つり銭がないので500円玉を握っている人だ。

 まったくランダムに10人が1列に並んだとき、その並び方の組み合わせは、10×9×8……×1で、10!(10の階乗)で360万通りにもなる。でも、この組み合わせの中には、当然、つり銭が払えない場合も含まれる。

 そこで、500円玉の5人と、1000円札の5人の2つのグループに分けて考える(当然だよね)。受付の人にとっては、Aさん、Bさんという個人が問題なのではなく、500円玉を握り締めているか、1000円札を握り締めているかが問題だ。

 ふたつのグループを表にしてみた。X軸は500円玉の人、Y軸は1000円札の人……。でも、つり銭が足りなくなっては困るので、X軸(500円玉)≧Y軸(1000円札)というルールを適用する。つまり、1000円札の客を受け付けるのは、つり銭があるときだけ。このルールを適用するだけで、表の半分は消える。

20070309_02

 左図の赤い線は、500円玉の人と1000円札の人を交互に受け付けた場合。右の図は、500円玉の5人を優先的に受け付け、その後、1000円札の人を受け付けた場合だ。この図は、どの経路を取っても、つり銭が足りなくなることはない。そこで、各格子点に行く経路の組み合わせ数を考えてみる。

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 ひたすら、経路を数えてみると、5人+5人=10人の場合は、42通りの組み合わせがあることがわかった。「ん? この表、どこかで見たことがあるぞ!」と思ったら、「カタラン数」だ。

 つまり、問題文から、これは「カタラン数」を使えば求めることができることを見抜き、「カタラン数」の公式を知っていれば、答えることができる。または、問題文からカタラン数の公式を導出できる天才だ。この問題は1990年の国際数学オリンピック(IMO)日本代表選抜2次試験に出された問題の類題で、第1次予選の通過者123人中、10人が正解したとのこと。

 ちなみに、この問題の解答、カタラン数の公式は、
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 5人・5人の場合で検算してみよう。
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 「たけしのコマネチ大学数学科」29講で「カタラン数」の問題が出題されたときは、「カタラン・ワカラン数」だったが、なんとなくだけど、少しわかったような気になった。

完全攻略 数学オリンピック 完全攻略 数学オリンピック

著者:秋山 仁,ピーター フランクル
販売元:日本評論社


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