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2007年2月23日 (金)

■コマネチ大学数学科39講:モンモール問題

コイズミが一言「鈍感力が大事だ」といえば、渡辺淳一の「鈍感力」が売れる今日この頃、私は「老人力」でがんばるの「たけしのコマネチ大学数学科」第39講。お題は「モンモール問題」。

問題:6人でプレゼント交換するとき、自分のプレゼントをもらわない組み合わせは何通りか。

まず、少ない人数で考えてみる。2人のときは、お互いプレゼントを交換するだけなので1通り。3人のときは、2通りしかないことがすぐにわかる。4人の場合、A,B,C,Dとすると、Aは、B,C,Dとプレゼント交換する組み合わせが考えられ、残り3人は2通りと、2人の1通りの組み合わせになり、3*(2+1)で9通りになる。ここから漸化式を導くと、f(n)=(n-1)*((f(n-1)+f(n-2))となる。

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この漸化式をもとに「エクセル」で表を作成した。というわけで、6人の場合は、265通りという答えが得られた。

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中村亨センセの「美しき数学の時間」で解説されていたように、この漸化式を一般化すると(一般項nをどんどん増やしていくと)、

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となるらしい。出ました、自然対数の底、ネイピア数が^^;

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「エクセル」では、自然対数の底は「=EXP(1)」で求めることができる。つまり、1/eは、「=EXP(-1)」だ。人数がたった6人でも、かなり、この値に収束してきているのがわかる。

前回の予告で「次回は有名人の誕生日パーティ?」とあったので、すっかり、今回は、誕生日が一致する確率の問題かな……とヤマをかけたが、2月25日は、戸部アナの26歳の誕生日だそうで、コマ大数学研究会が扮する、戸部洋子だらけの誕生日パーティーだった^^;

「メガネの洋子、千葉県検見川~♪」というわけで、お誕生日おめでとうございます。「似てないですよ~」と文句を言われそうだけど……^^;

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2007年2月19日 (月)

■数学基礎:板チョコ割りゲーム

これも、秋山仁センセの「高校講座 数学基礎」の「数理ゲーム必勝法」で紹介されていたゲームをそのままFlashで作ったもの。交互にチョコレートを縦横の溝に沿ってパキと折っていき、右下のホワイトチョコレートを相手に取らせたら勝ち。

遊び方:最初に先手、後手を選んだあとは、キーボードの方向キー(上下左右)でチョコレートの折る場所を決め、スペースキーを押して折る(※日本語入力をOFFにしておかないと反応しません;;)。

一度、遊んでみれば、必勝法はすぐわかるので、書くまでもないが、秋山仁センセの授業では、ゲームの最終的な形(茶と白の山がふたつの状態)から、遡って必勝法を見つける、逆思考法を説いていた。すると、先手の場合、相手がどのように取っても、自分は正方形になるように取っていけばいいんだな、ということがわかる。

「数学落ちこぼれ」のひきもり爺の時間の潰し方として、FlashのScriptを書き、試行錯誤を繰り返しながら、それがうまく動いたときは楽しいのだが、必勝法がわかっている数理ゲームをFlashで作ることに、はたして意味があるのかどうかは疑問が残る……。やりたいこと、学びたいことはたくさんある。「少年老い易く学なり難し」と言うが、酔っ払い爺には、さらに時間が足りない。覚えたこともすぐ忘れちゃうし><;

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■R-1グランプリ

関西テレビ、フジテレビ系列の「R-1グランプリ」を見た。ようするに「朝日テレビ」系列の「M-1グランプリ」(Mは、ManzaiのM)に対抗して、こちらは、ピン芸人の芸を競うものだが、年末、新年の特番でもなく、番編時期でもない、ゴールデンタイムの放映でもない、この時期、この時間帯に放映すること自体が、この「R-1グランプリ」の認知度というか、人気度がイマイチであることを物語っている。だいたい(R-1がなんの略なのかも、よくわかんないよ^^;)

今回の見所は、2006年M-1グランプリを制した、チュートリアルの徳井義実が、M-1、R-1のダブルタイトルを獲得できるか否か(ちなみに、前回、第5回R-1グランプリで、徳井義実は2位)。もうひとつは、過去、すべて決勝戦に進出するも、無冠の「友近」と、交際が報じられている「なだぎ武」の動向だ。もしも「友近」、「なだぎ武」のどちらかが、優勝し、優勝賞金500万円を手に入れたら、それを結婚資金に当てるとも、報じられていて、そんなことは私にはどうでもいいのだが、深夜のオンラインショッピング番組で、友近、なだぎ武の、キャサリン&ディランのオンラインショッピング番組が実現されたら、ネタとしても面白く、見てみたいと思うのは、私だけだろうか^^; ダチョウ倶楽部の寺門ジモンにとっては、穏やかならぬ、脅威を感じるかもしれない。

で、私が注目したというか、今まで知らなくてごめんなさいという感じで、インパクトを受けたのが、ウメ(ソニーミュージックアーティスツ)と、大輪教授(ケイダッシュステージ)だ。ともに、ネタを見るのが初めてだったので、「ほぉお~~~」と唸ってしまった。とくに「ウメ」の同じ紙芝居(お笑い界では「絵めくり」というらしい)を使いながら、別のストーリーを構築する話芸? こう言葉で書くとつまらないけれど、はじめて、それに触れると、カルチャーショックと、快感を味わえると思う。紙芝居の絵も自分で描いているみたいで、貧乏っぽい絵柄も、キャラクターと相俟っていい味を出している。

大輪教授も、恥ずかしながら、その存在を知らなかったのだけれど、ホワイトボードと白衣という出で立ちで理数系ネタを披露する。その、お笑いの難しさは、想像に難くない。たとえば、大輪教授の「七分袖」って「7%」、「七分袖はノースリーブにほぼ等しい」というネタは、野暮を承知で解説すると、以前、このブログで芳沢光雄氏の「算数・数学が得意になる本」を紹介したときに、このプロジェクトは「九分九厘」成功すると言ったとき、その成功率は「9.9%」ではなく、「九割九分」を意味する「99%」である。と聞かされたときと同じ。「割」という概念は江戸時代にはなかったため、慣れ親しんだ言葉と数学的なギャップに気づくことが面白しろいのだが、けっこう指摘されるまで気づかない。面白さのツボがわかるまで、ちょっとした時間差がある。面白さというより「へぇ~」と感心されても困るわけだ。

ふたりとも「R-1グランプリ」の座は逃したが、2000人を超える応募者の中から、予選を勝ち抜き、決勝に進出した8人の中に選ばれたことは、その実力を評価された証で、芸人としては晴れの舞台だ。私のように、テレビを通じてだが、はじめて、その芸に触れ、一発で引きこまれ、ファンになった視聴者も多かったはずだ。ウメの絵めくりをもっと見たい!

というわけで、「R-1グランプリ」は、「徳井義実」と同点ながら「なだぎ武」が獲得した。でも、微妙にキャラクターがかぶっている「友近」と「なだぎ武」のお笑い芸人カップルって、どうなのよ^^;

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2007年2月16日 (金)

■コマネチ大学数学科38講:スパゲッティ問題

数ヶ月ぶりに電車に乗り、編集部での打ち合わせに出かけた、ひきこもり爺の「コマネチ大学数学科」受講メモ。

問題:1本が30cmのスパゲッティを無作為に3本に折ったとき、その3本で三角形を作ることができる確率は?

この問題、なぜ難しく考える必要があるのか、私にはわからないが、すっかりイタリアンな感じの竹内薫センセの解説では、この問題を解くには、ふた通りの方法があって、まずは代数で考えたのが東大生チームだ。

20070216_01

三角形の二辺の和は、他の一辺より長いので、以下のような不等式が成り立つ。
x+(y-x)>(30-y)
x+(30-y)>(y-x)
(y-x)+(30-y)>x
0<x, x<y, y<30

20070216_02 これをグラフで考えたのがマス北野だ。

同じように条件を当てはめると、x,yは、オレンジ色の部分になる。面積の比率によって、確率は1/4であることがわかる。

竹内薫センセの「美しき数学の時間」では、マーチン・ガードナーの解法を紹介していた。

20070216_03

正三角形の中の任意の場所に点Pを打つ、点Pから三辺に垂直になるような線を引く。この3本の垂線の長さを合計すると、正三角形の高さになるというもの。
AD=AE+AF+AG

AD=PE+PF+PG(2月16日修正
ADを30cmのスパゲッティと考えると、AE,AF,AG(PE,PF,PG)は三つに折ったときのスパゲッティの長さになる。で、三角形の二辺の和は他の一辺より長いという条件を加えると、点Pは、オレンジ色の部分に収まっている必要があるのだ。面積比で1/4。

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冒頭で、この問題を難しく考える必要があるのか、私にはわからないと言ったのは、最初にスパゲッティを折る場所が半分の15cmより大きくなるか、小さくなるかの確率は1/2だよね。三角形の二辺の和は他の一辺より長いのだから、次にスパゲッティを折るとき、二つに折ったスパゲッティの短いほうを選んじゃうと、三角形を作れない。長いほうか、短いほうか2本のスパゲッティのどちらか一方を選ぶ確率は、1/2なので、(1/2)*(1/2)で、三角形を作れる確率は1/4という答えになる。ふつうは、こう考えるんじゃないのかなぁ……。

2月16日追記:自分が書いた文章を読み返してみたら、2本に折ったスパゲッティの長いほうを選んでも、必ずしも、三角形が作れるとは限らない……ということに気がついた;; やはり、ちゃんと数学的に証明しないとダメみたい><;

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2007年2月13日 (火)

■数学基礎:フィボナッチ寿司

石取りゲーム(ニム)の第2弾「フィボナッチ寿司」。パーツは使いまわしだけれど、ルールが違うので必勝法も違うからね。Wikipediaの分類によると「二人零和有限確定完全情報ゲーム」ということになる。

ルール
1:最初の一手のみ、寿司は何個でも取れる(ただし、全部を取ることはできない)。
2:二手目からは、相手の取った寿司の数の2倍まで取ることができる。
3:交互に寿司を取り、最後に寿司を取ったほうが勝ち(パスはできない)。

前に「蓼食うバグも寿司好きゲーム」を作ったが、必勝法を発見するというより、先手なら、どんな手を打っても勝ててしまう(しかもバグあり)。数理ゲームにしても、もう少し楽しめるものを作りたいなぁ、というのが今度の「フィボナッチ寿司」なんだけど、必勝法をコンピュータに覚えさせるのに苦労するばかりで、完成しても自分では楽しめない;;

とりあえず、必勝法と解説は後日……^^;

2月17日追記:必勝法はこちら

続きを読む "■数学基礎:フィボナッチ寿司"

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2007年2月 9日 (金)

■コマネチ大学数学科37講:断面

おめぇに喰わせる「断面」は、ねえぇ!の「たけしのコマネチ大学数学科」の第37講。

問題:小さい立方体9261個を使ってひとつの大きな立方体を作り、断面が正六角形になるように切断します。このとき、小さい立方体は何個切断されるでしょうか。

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立方体の各辺の中央を通るように切断すると、断面が正六角形になる。上のFlashは、3×3×3の立方体だが、隙間を作っているので、わかりづらいかもしれない。各辺が5の立方体は図のようになる。中央の赤い六角形を取り囲むように六角形が増えていくが、小さな三角形は、六角形の数の2倍ずつ増えていく。

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※注:表のF列の数値に誤りあり。nanzanさんのコメントを参照(2008年4月2日追記)

これを表にすると、正六角形の増分は「6n」、正三角形の増分は「2*6n」、そして切断される小さな立方体の増分は、これを足したものなので「3*6n」になる。9261個の小さな立方体で作った大きな立方体の辺の数は、21×21×21なので、これに当てはめ、合計を出す。

マス北野は、正三角形の数が正六角形の数の倍と考え、「331×2」としてしまったため、惜しくも正解を逃してしまった。1個の立方体を切断したときに出来るのは正六角形のみ。ううむ、中村亨センセの解説をそのまま、なぞっているだけになってしまった;; 

美しき数学の時間では、いろいろなパターンの「アルキメデスのタイル張り」を紹介していた。最近、FlashのActionScriptで図形を描くことを覚えたので、いつか挑戦してみたい。それと、今回は、Shadeで作成したアニメーションをFlashに埋め込むことに挑戦してみた。

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2007年2月 4日 (日)

■数学基礎:数理ゲーム必勝法

秋山仁センセのNHK高校講座「数学基礎:数理ゲーム必勝法」を参考にして、Flashのゲームを作成してみた。名づけて「蓼食うバグも寿司好きゲーム」イェーイ^^;

ルール
1:一度に取ることのできる寿司の数は最大3個まで。
2:直前に相手の取った寿司の数と同じ数の寿司は取れない。
3:先に寿司を全部取ったほうが勝ち(取る寿司がなくなったら、負け)。

問題:このゲームの必勝法を考えなさい。

遊び方
最初に「先手」「後手」ボタンを押して、ゲームをスタートする。食べたい寿司をクリックして、寿司を取り、画面右下の「赤いボタン」を押して、相手の番に渡す。もしも、「相手と同じ数の寿司は取れません!」と表示されたら、寿司を追加して取るか(ただし、3個まで)、手前の寿司(取った寿司)をクリックして寿司を戻し、「赤いボタン」をクリックする(※注意:このゲームの勝敗は、好きな寿司のネタをいくつ取るか、ではなく、寿司が取れなくなったら負けという点。誤解しないように^^;)

いわゆる「石取りゲーム」の変形なのだが、相手と同じ数の寿司を取ることができないというルールがミソだ。たとえば、最後に寿司が1個残ったとして、あなたの番のとき、この寿司を取れば勝ちだが、直前に相手の寿司を取った数が「1」のときは、その寿司を取ることができない。そのときは、「赤いボタン」でパスをしてほしい。

このゲームは、秋山仁センセの授業のとおり、数理ゲーム的には「先手、必勝」だ。ただし、「寿司食うバグ」を退治できたかどうか自信がない。数理ゲームの必勝法を考えるより、バグ取りに悩まされた。「けっこう毛だらけ、ネコ灰だらけ、私のプログラムはバグだらけ」というわけで、もしかしたら「後手」で勝つ方法があるかもしれない(><;

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2007年2月 2日 (金)

■コマネチ大学数学科36講:フラクタル

マス北野によると、映画「TAKESHI'S」の元タイトルは「フラクタル」だったとか「たけしのコマネチ大学数学科」第36講。

20070202_01 問題:以下の規則に従って白玉と赤玉を64段まで並べるとき、必要な赤球は何個でしょうか。
規則
1:1段目に白玉を置く
2:2段目以降、両端には白玉を置く
3:3段目以降、斜め上2個が同じ色なら赤だまを、違う色なら白玉を置く

というわけで、コマ大数学研究会にならって、ひたすら並べてみるものの……。32段目で挫折;;

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8段目までで白玉は27個、64段では、この形が27個あり、27×27で白玉は729個。玉の総数は「n+(n+1)/2」で、64*65/2で2080個、2080-729で、赤玉の数、1351個が求められる。

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竹内薫センセの「美しき数学」の時間では、もっと簡単に求める方法を紹介していた。すべてが白玉になる段に注目すると、1,2,4,8……段。このときの白玉の総数は、1,3,9,27……と3倍になっている。

パスカルの三角形」の奇数、偶数を塗り分けると、シェルピンスキーのギャスケットになる話は、以前のエントリーで書いた。

●マンデルブロ

Mandelblot_01

マス北野もマンデルブロやフラクタルにはまっていたことがあるそうだが、私も、十数年前、はまっていたことがある。当時は、書籍などに載っていたプログラムを参考にして、「X68000」というパソコンのBasicで描いていたのだが、描画が遅くて、その後、Visial Basicに直して描いたりしていた。「日経デジタル大事典」の記事を書いたとき図版として使用した画像は残っていたものの、プログラムは残っていない;;

Mandelblot_02

マンデルブロ図形の細部に入り込んでいくと、行けども行けども果てしなく、不思議な図形が現われる。

●Flashでシェルピンスキーのギャスケットを描いてみた。

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手書きでは、正確な正三角形を描くのが難しいため、最初の三角形を、Action Scriptで描く。Action Scriptで描いたのは2フレームまで、あとは、これを断片のひとつとして、シンボル化し、手作業で貼り付けた(^^;

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