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2007年2月16日 (金)

■コマネチ大学数学科38講:スパゲッティ問題

数ヶ月ぶりに電車に乗り、編集部での打ち合わせに出かけた、ひきこもり爺の「コマネチ大学数学科」受講メモ。

問題:1本が30cmのスパゲッティを無作為に3本に折ったとき、その3本で三角形を作ることができる確率は?

この問題、なぜ難しく考える必要があるのか、私にはわからないが、すっかりイタリアンな感じの竹内薫センセの解説では、この問題を解くには、ふた通りの方法があって、まずは代数で考えたのが東大生チームだ。

20070216_01

三角形の二辺の和は、他の一辺より長いので、以下のような不等式が成り立つ。
x+(y-x)>(30-y)
x+(30-y)>(y-x)
(y-x)+(30-y)>x
0<x, x<y, y<30

20070216_02 これをグラフで考えたのがマス北野だ。

同じように条件を当てはめると、x,yは、オレンジ色の部分になる。面積の比率によって、確率は1/4であることがわかる。

竹内薫センセの「美しき数学の時間」では、マーチン・ガードナーの解法を紹介していた。

20070216_03

正三角形の中の任意の場所に点Pを打つ、点Pから三辺に垂直になるような線を引く。この3本の垂線の長さを合計すると、正三角形の高さになるというもの。
AD=AE+AF+AG

AD=PE+PF+PG(2月16日修正
ADを30cmのスパゲッティと考えると、AE,AF,AG(PE,PF,PG)は三つに折ったときのスパゲッティの長さになる。で、三角形の二辺の和は他の一辺より長いという条件を加えると、点Pは、オレンジ色の部分に収まっている必要があるのだ。面積比で1/4。

20070216_04

冒頭で、この問題を難しく考える必要があるのか、私にはわからないと言ったのは、最初にスパゲッティを折る場所が半分の15cmより大きくなるか、小さくなるかの確率は1/2だよね。三角形の二辺の和は他の一辺より長いのだから、次にスパゲッティを折るとき、二つに折ったスパゲッティの短いほうを選んじゃうと、三角形を作れない。長いほうか、短いほうか2本のスパゲッティのどちらか一方を選ぶ確率は、1/2なので、(1/2)*(1/2)で、三角形を作れる確率は1/4という答えになる。ふつうは、こう考えるんじゃないのかなぁ……。

2月16日追記:自分が書いた文章を読み返してみたら、2本に折ったスパゲッティの長いほうを選んでも、必ずしも、三角形が作れるとは限らない……ということに気がついた;; やはり、ちゃんと数学的に証明しないとダメみたい><;

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コメント

ご無沙汰しております。
最後の解法。
なるほど、そのとおりだ!と感心して読みました。
この記事に、竹内先生が何かコメントするのかな?
と、少し期待しております。
I appreciate in your usual cooperation.
Best Regards,Chablis

投稿: シャブリ | 2007年2月16日 (金) 19時25分

実は、最初に3つに割れずに、2つに「割った」場合、確率は0.386か(その半分の)0.193になる、という計算があるんですよ(汗)

アメリカの高校の先生が、Mathematics Teacherという業界誌にこの事情を紹介していて、だから、教室で実験をする場合には、「最初に2つに折ってから、長いほうを折ると確率は0.386になるので気をつけろ」と書いているくらいです。(2回目を長いほうではなく、1/2の確率で長いほうか短いほうを折ると確率は0.193になる!)

参考:The Spaghetti problem
Dennis Ippolito
Mathematics Teacher

投稿: 竹内薫 | 2007年2月16日 (金) 23時48分

AD=AE+AF+AG ではなく AD=PE+PF+PG ですよね。

投稿: 通りすがり | 2007年2月16日 (金) 23時51分

かえって、問題を難しくしちゃったみたいです;;>竹内センセ

間違いの指摘ありがとうございます>通りすがりさん

投稿: Gascon | 2007年2月17日 (土) 00時06分

ガスコンさん、こんばんは。
コメントを読んで、見に来ました。
いやぁ、難しいですね。これは、一発で折る場合と、
2回に分けて折るときでは、確率が違うと言うことなのでしょうか。頭が寝ているので、すっきりしてから考えてみます。

まさか、すぐ後に竹内先生のコメントがあったなんて・・
I appreciate in your usual cooperation.
Best Regards,Chablis

投稿: シャブリ | 2007年2月17日 (土) 01時24分

この問題、4角形、5角形、6角形と増やしていくと
どんどん変な数になっていくんですよね

特に、5本に折って5角形が出来る確立は11/16と
なんだか不思議な数に…
(PCで100万回シミュレートした結果ほぼ一致しました)

投稿: 出水 | 2007年2月17日 (土) 13時20分

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