■コマネチ大学数学科38講：スパゲッティ問題

数ヶ月ぶりに電車に乗り、編集部での打ち合わせに出かけた、ひきこもり爺の「コマネチ大学数学科」受講メモ。

問題：1本が30cmのスパゲッティを無作為に3本に折ったとき、その3本で三角形を作ることができる確率は？

この問題、なぜ難しく考える必要があるのか、私にはわからないが、すっかりイタリアンな感じの竹内薫センセの解説では、この問題を解くには、ふた通りの方法があって、まずは代数で考えたのが東大生チームだ。

三角形の二辺の和は、他の一辺より長いので、以下のような不等式が成り立つ。
x+(y-x)>(30-y)
x+(30-y)>(y-x)
(y-x)+(30-y)>x
0<x, x<y, y<30

これをグラフで考えたのがマス北野だ。

同じように条件を当てはめると、x,yは、オレンジ色の部分になる。面積の比率によって、確率は1/4であることがわかる。

竹内薫センセの「美しき数学の時間」では、マーチン・ガードナーの解法を紹介していた。

正三角形の中の任意の場所に点Pを打つ、点Pから三辺に垂直になるような線を引く。この3本の垂線の長さを合計すると、正三角形の高さになるというもの。
AD=AE+AF+AG

AD=PE+PF+PG（2月16日修正）
ADを30cmのスパゲッティと考えると、AE,AF,AG（PE,PF,PG)は三つに折ったときのスパゲッティの長さになる。で、三角形の二辺の和は他の一辺より長いという条件を加えると、点Pは、オレンジ色の部分に収まっている必要があるのだ。面積比で1/4。

冒頭で、この問題を難しく考える必要があるのか、私にはわからないと言ったのは、最初にスパゲッティを折る場所が半分の15cmより大きくなるか、小さくなるかの確率は1/2だよね。三角形の二辺の和は他の一辺より長いのだから、次にスパゲッティを折るとき、二つに折ったスパゲッティの短いほうを選んじゃうと、三角形を作れない。長いほうか、短いほうか2本のスパゲッティのどちらか一方を選ぶ確率は、1/2なので、(1/2)*(1/2)で、三角形を作れる確率は1/4という答えになる。ふつうは、こう考えるんじゃないのかなぁ……。

2月16日追記：自分が書いた文章を読み返してみたら、2本に折ったスパゲッティの長いほうを選んでも、必ずしも、三角形が作れるとは限らない……ということに気がついた；；　やはり、ちゃんと数学的に証明しないとダメみたい＞＜；