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2006年12月11日 (月)

■コマネチ大学数学科29講:カタラン数(補習)

 頭の中でカタラン数が「カタラン、ワカラン」と音を立てている。仕事をしなければならないのだが、このままでは気になってしょうがない。そこで、頭の中を整理する意味で、エクセルの表にしてみた。

20061211_01

 EXCELがインストールされているパソコンならば、「comaneci29.xls」をクリックし、「開く」を実行してみてほしい。

 問題を解くためには、できるだけ問題を単純化して、それを一般化する手法を取る。

20061211_02

20061211_03

 「P」とか「C」とか、わからない記号が出てきたが、これは数学のお約束ごと。数学が難しく感じたり、理解不能と思えるのは、誰かに教えてもらわないと一生わからない記号(お約束)が多いことなんだよね。

 その点、この問題を解くのに参考にした、結城 浩さんの「プログラマの数学」という本は、数学が苦手な人にも、きちんと記号の意味を説明をしてくれている。優しさは(理解の)易しさにもつながるのだ。

 これで、エクセルの表の「人数」に「10」と入力すれば、正解が出るのだけれど、今回のテーマは「カタラン数」なので、カタラン数とはどういうものか……。

20061211_04_2

2007年3月9日追記:図の間違いを修正;;

 パスカルの三角形を半分にしたような形なのだが、この表に表れる「1、1、2、5、14」という数の並びが「カタラン数」と言うらしい。今回の問題の2人、4人、6人、8人の場合のカップル(握手成立)数になっているのだ。

 マス北野が短時間で正解に辿り着いたのは、(2+5)の2倍が、次の数字「14」になることに気づいたからだ。
つまり、(2+5+14)×2が、10人の場合の答えになると考えた。マス北野のこういった法則を見つける能力というか、数学的な直観力は「さすが」だよね。

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コメント

結城浩です。いつも楽しく読んでいます。拙著の宣伝までしていただき、ありがとうございます。
カタラン数に絡めて、「ミルカさんとコンボリューション」
という読み物(数学青春エンタ?!)を公開していますので、よろしければどうぞ。

投稿: 結城浩 | 2006年12月16日 (土) 08時53分

コメントありがとうございます。
「ミルカさんとコンボリューション」読みました。数式が次々と形を変えていくのは、驚きと同時にわくわくしました。数式そのものは「下方階乗冪」、「母関数」あたりから、馴染みがない言葉が出てきて、理解できなくなりましたが、数式を一般化することとはどういうことなのかは、おぼろげながらわかりました。そして、いろんなアプローチの方法があること、数学の知識はもちろん必要ですが、発想力も必要なこと、数学の楽しさは十分伝わってきました。時間はかかるかも知れませんが、他のお話も読みつつ、少しずつ「そうだったのか」と理解できるところを増やしていきたいと思います。

投稿: Gascon | 2006年12月17日 (日) 00時23分

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