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2006年6月 1日 (木)

六芒星のパズル

 このブログにトラックバックを送ってくれた「Atelier-T.T ゲームプログラミング工房」で「六芒星(ろくぼうせい)」のパズルをプログラミングで解くというおもしろい試みをしている。

Tr_011  パズルのルールを確認しておくと、図の○の部分に1~12までの数字を入れ、各列の合計がすべて同じになるようにする(数字は重複使用してはならない)。

 私は「C++」を持っていないし、使ったこともないので、公開しているプログラムを試してみることはできないのだが、「エクセル」で挑戦してみようという気になった。

 もしも、この問題を「コマ大数学研究会」のように体を張り、ひとつひとつ数字を入れて確かめる方法をとったならば、どれくらいの組み合わせが考えられるのだろうか。

Tr_012  一度使った数字は使えないので「=12×11×10……×1」とエクセルで計算すると「479001600」通りとなった。これは「12の階乗」だ。掛け算をいくつも並べるのは面倒なので、「エクセル」にも関数が用意されていて「=FACT(12)」とすれば、答えが出る。

 4億7900万通りをすべて調べるわけにもいかない。「エクセル」でこの問題を解くのは無理っぽい。そこで、いくつかの仮説を立てる。まず、1列の4つの数字を足した合計がいくつになるか。1~12までを全部足すと「78」、これを12で割ると、ひとつの○に入る数字の平均は「6.5」、それが4つで「26」だ。

Tr_012b 仮説1:列の合計は「26」
仮説1が正しければ、1列には偶数2個、奇数2個が入る(もしくは、偶数4個、奇数4個の組み合わせも考えられる)。
辺の頂点、交差するところで数字は2回使われるので、ひとつの列を考えると、前半部分だけを決定すれば、後半部分は他の列によって自動的に決まる。

Tr_013  こうして「六芒星パズル」を解くための(あくまで補助するだけの(^^;」表を作成した。数字はとりあえず便宜的に入れたもの。列(3)と列(4)は、入力する必要はなく、他の列をセル参照している。そして、答えのチェックの意味で列の合計を表示している。これだけでも、図を紙に描いて、数字を書いては消すよりは、ずっとラクちんだ。

Tr_014 Tr_015  まず、A列の「1」と「2」を残して考えてみる。すると、仮説では、列の合計が「26」になるはずなので、残りの後半は、「11」と「12」だ。ここでF列を考えると、すでに「2」があるので、次に大きい「9」と「10」を使う。すると、B列(1)は「5」となる。

Tr_016  同様に列Eは、すでに後半部分に「10」と「1」が入っているので、「7」と「8」を入れると、うまく「26」になる。試行錯誤を繰り返し、完成したのが、この表。なんとかすべての数字を入れることができた。

Tr_017  前出の「Atelier-T.T ゲームプログラミング工房」によると、解は「960」通り。このうち、回転、鏡像による重複は、6×2で12通り。すべての解に対して12通りの重複があるので、この「六芒星パズル」には、80通りの解があることになる(らしい……99.9%の仮説)。

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