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2006年5月29日 (月)

補習[2]:ヨセフスの問題

 少し、時間に余裕ができたので、前回の「たけしのコマネチ大学数学科」で出題された「ヨセフスの問題」を復習してみたいと思う。

問題「200枚のカードが1から順に並んでいます。1番上のカードを1番下に持っていき、次のカードを捨てるという作業を繰り返したとき、最後に残るカードは何番か答えなさい」

Ex_16  番組内では200枚のカードだったが、簡略化して13枚のカードで試してみよう。1枚おきにカードを捨てていくので、2周目に入るとき、奇数枚なので、数え始めた「1」のカード(トップ)は捨てられる。残りカードは7枚なので、3周目でもがトップが入れ替わる。残り枚数は4枚なので、トップの入れ替わりは起こらず、「11」枚目が最後に残るカードとなる。

 これを数式にすると、カードが偶数の場合は(2n)枚、奇数の場合は(2n+1)枚のカードがある。1周した時点で残るカードの枚数は、偶数の場合(2n/2^2)、奇数の場合は(2n/2^2)+1になる。3周時は(2n/2^3)……と続き、最終的に(2n/2^s+1)+1となるはずで、f(n)=2(n-2^s)+1という式になる。

 ここでの「s」とは、何周したかであり、つまり2の何乗かであるかだ。

 番組内でも、カードが200枚の場合、それを2進数で表し、「1」のところは「0」、「0」のところは「1」として、その数を引くと、最終的に残るカードを求めることができると解説していた。

 で、いきなり説明もなく、結論だけを「nを2進数で表し、頭の1を取り、最後尾に付け加える」としたわけだが、これは、ビット演算という手法。10進数を「DEC2BIN」関数で2進数に変換し、先ほどの「2(n-2^s)+1」の式にあてはめてみる。

Ex_17  「2n」は、2進数の場合、左シフト、ローテーションを行うと、その数を2倍したことになる。たとえば、13の2進数である「1101」を左にひとつずらすと、「11010」になり、それを10進数で表すと「26」。それから「2(2^3)」を引くということは、「2^4」だから、二進数では「10000」、十進数では「16」を引いて、「1」を加えると、答えは、2進数表記で「1011」、十進数表記では「11」となるわけだ(コンピュータの内部では、こんなふうに2進数のビット演算で計算が行われているんですね)。

 このブログは「たけしのコマネチ大学数学科」で出題された問題を「エクセル」で解くことを目的としているが、私を含め、数学にあまり縁のない人にも、とりあえず、難しく考えず「エクセル」を使えば、答えが出せるよ……というのが趣旨だったはず。

Ex_18  ビット演算なんて、普通の生活の中では、使いません……というか「エクセル」では、10進数を2進数に変換することはできても、AND OR NOT などの論理演算子は、「真:TRUE」か「偽:FALSE」を返すだけで、ビット演算をすることができません。ましてや、左シフト命令なんてありません。そこで文字列操作で「=RIGHT(B2,LEN(B2)-1)&LEFT(B2,1)」とし、左の1文字を取って、右の末尾に加えています。

 今後は、わかりにくい「美しさ」よりも「たけし軍団:数学研究会」のメンバーになったつもりでがんばります。今回、唯一、正解を出したのは、じつは「数学研究会」ですもの。難しい理屈なんて、わからなくても、楽しければいいんだ……。

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コメント

お初にメールをお送りします。金矢さんの記事をみてからファンになりました!雪だるまをペイントでお絵かきを描いてペイントでこんな素敵な雪だるまがえがけるんだ!と思い、ずーーと追いかけをしていました。竹内氏のブログからリンク先が分かってから夢のようです。最近1年間コマ大を見ていたので数学も興味があったのです。お絵かき、数学哲学
英語とまるで学生のような毎日を送っています。ヨセフスは難しかったのですが、金矢さんの補習でやっと理解が進みました。これからも健康第一で頑張ってくださいね。才能ある方なので。

投稿: 古田 眞知子 | 2009年1月14日 (水) 21時04分

古田 眞知子さん、コメントありがとうございます。

ウィンドウズ付属の「ペイント」ソフトで「雪だるま」を描いたのは、日経「ビギナーズ」の記事だったと思います。そんな記事に目を留め、覚えていてくれたことは、ライターとしての冥利に尽きます^^;

投稿: Gascon | 2009年1月15日 (木) 10時04分

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